Cześć wam. Oto zadanie:
Dana jest przestrzeń \(\displaystyle{ V=lin\left\{\left(1,-1,2,1\right),\left(2,3,3,1\right),\left(1,4,1,0\right),\left( 0,-5,1,1\right)\right\}}\). Wyznaczyć bazę przestrzeni ortogonalnej do przestrzeni \(\displaystyle{ V}\).
Mój sposób rozwiązania:
1) Sprawdzam czy w podanej przestrzeni są wektory liniowo zależne:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&2&1\\2&3&3&1\\1&4&1&0\\0&-5&1&1\end{bmatrix}}\)
po przekształceniach otrzymuję macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&2&1\\0&5&-1&-1\\0&5&-1&-1\\0&-5&1&1\end{bmatrix}}\)
Stąd wiem, że mam dwa wektory liniowo zależne.
Otrzymałem w ten sposób \(\displaystyle{ V=lin\left\{\left(1,-1,2,1\right),\left( 0,-5,1,1\right)\right\}}\)
2) Zamieniam przestrzeń na ortogonalną:
\(\displaystyle{ U_{1} = \left(1,-1,2,1\right)}\)
\(\displaystyle{ U_{2} = \left(-1,-4,-1,0\right)}\)
3) Wyznaczam bazę przestrzeni ortogonalnej:
\(\displaystyle{ x=\left( x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} \right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} U_{1} * x = 0 \\ U_{2} * x = 0 \end{cases}}\)
Rozwiązuje układ i wyniki mam takie:
\(\displaystyle{ x_{1}= -\frac{9}{5}s- \frac{4}{5}t}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{1}{5}s+ \frac{1}{5}t}\)
\(\displaystyle{ x_{3}= s}\)
\(\displaystyle{ x_{4}= t}\)
gdzie \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\) są parametrami.
Stąd uzyskuję:
\(\displaystyle{ s\left( -9,1,5,0\right) +t\left( -4,1,0,1\right)=0}\)
\(\displaystyle{ V^\perp=lin\left\{\left( -9,1,5,0\right),\left( -4,1,0,1\right) \right\}}\)
Czy to jest zrobione dobrze? Odpowiedź do tego zadania mam podaną inną :/
\(\displaystyle{ V^\perp=lin\left\{\left( 1,0,-1,1\right),\left( -4,1,0,5\right) \right\}}\)