sprawdz czy przekształcenie jest linniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
TrzyRazyCztery
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 24 maja 2014, o 17:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wro
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1 raz

sprawdz czy przekształcenie jest linniowe

Post autor: TrzyRazyCztery »

Witam moje zadanie brzmi:
Dla danych przestrzeni liniowych U i V oraz funkcji \(\displaystyle{ L:U \rightarrow V}\) rozstrzygnac z uzasadnieniem czy L jest przekształceniem liniowym

\(\displaystyle{ U = V = M _{n \times n}\left(\mathbb{R}\right) , L\left(A\right) = A - A ^{T}}\)

zacząłem robic to jakos tak

\(\displaystyle{ A_{1},A_{2} \in U

L\left(A_{1}+A_{2}\right) = \left(A_{1} + A_{2}\right) - \left(A_{1} + A_{2} \right)^{T} =}\)

tutaj nie wiem do końca czy tak można rozbić to transponowanie, intuicje mam ze tak bo dwie dodane do siebie macierze i przetransponowane dadza to samo co oddzielnie przetransponowane.

\(\displaystyle{ = A_{1} + A_{2} - A_{1}^{T} - A_{2}^{T}}\)
i tutaj chyba z prawa dzialania na macierzach że dodawanie jest przemienne
\(\displaystyle{ A_{1} - A_{1}^{T} + A_{2} - A_{2}^{T} = \left(A_{1} - A_{1}^{T}\right) + \left(A_{2} - A_{2}^{T}\right) = L\left(A_{1}\right) + L\left(A_{2}\right)}\)

Wiec tak jakby pierwszy warunek tego żeby było przekształceniem liniowym jest spełniony

w Drugim
\(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}

L\left( a \cdot A\right) = \left(a \cdot A\right) - \left(a \cdot A\right)^{T} =}\)

Tutaj chyba korzystamy z tego ze mnożenie przez skalar macierzy jest przemienne
\(\displaystyle{ = a \cdot A - a \cdot A^{T} = a \left(A - A^{T}\right)}\)
z tego że mnozenie macierzy jest rozdzielne wzgledem dodawania?
\(\displaystyle{ a \cdot L\left(A\right)}\)
Wiec obydwa spełnione czyli jest przekształceniem liniowym?
Czy zrobiłem gdzieś błąd? czy wszystko przekształcenia są prawidłowe? czy nie wymyśliłem jakiś własności których nie ma?

-- 27 maja 2014, o 19:02 --

Drugi przykład mam taki
\(\displaystyle{ U = V = M_{n \times n}\left(\mathbb{R}\right), L\left(A\right) = A^{2}}\)

wpadłem jedynie na cos takiego :
\(\displaystyle{ A_{1},A_{2} \in U

L\left(A_{1} + A_{2} \right) = \left(A_{1} + A_{2} \right)^{2} = \left(A_{1} + A_{2} \right) \cdot \left(A_{1} + A_{2} \right) = A_{1}\left(A_{1} + A_{2} \right) + A_{2}\left(A_{1} + A_{2} \right) = A_{1}^2 + A_{2} + A_{2}^2 + A_{1} = A_{1}^2 + A_{2}^2 + A_{2} + A_{1} = L\left(A_{1} \right) + L\left( + A_{2} \right) + A_{2} + A_{1}}\)

wiec pierwszy warunek nie zachodzi. Czy to jest dobre rozwiązanie?


A trzeciego nie potrafie rozwiązać

\(\displaystyle{ U = V}\) jest przestrzenia funkcji okreslonych na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) o wartosciach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}, L\left( f\right) = \left| f\left( 0\right) \right|}\)
Ostatnio zmieniony 27 maja 2014, o 19:18 przez leszczu450, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

sprawdz czy przekształcenie jest linniowe

Post autor: Kacperdev »

Ogólnie w porządku, tylko gdzieniegdzie komentarz nieco koślawy:
Tutaj chyba korzystamy z tego ze mnożenie przez skalar macierzy jest przemienne
?
Nie ma czegoś takiego jak mnożenie macierzy razy skalar. Jst tylko mnożenie skalara razy macierz.
z tego że mnozenie macierzy jest rozdzielne wzgledem dodawania?
?
Raczej z własności, że mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów.

EDIT
Cały post odnosi się do pierwszego przykladu.
TrzyRazyCztery
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 24 maja 2014, o 17:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wro
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1 raz

sprawdz czy przekształcenie jest linniowe

Post autor: TrzyRazyCztery »

nie pisze takeigo komentarza przy zadaniu, pisalem go tutaj tylko żeby spróbować jakoś pokazać jak o tym myślę, w sensie czemu chce wykonać jakies przekształcenie, średnio mi idzie wypowadanie sie w języku matematyki Ale dziekuje serdecznie za poprawe teraz bede wiedział jaki komentarz pisać.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

sprawdz czy przekształcenie jest linniowe

Post autor: Kacperdev »

Drugi przykład znacznie bezpieczniej i prościej obalić z drugiej własności.
W trzecim zacznij tak jak robiłeś poprzednio. Weź jakieś dwie funkcje podstaw, może coś interesującego zauważysz.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

sprawdz czy przekształcenie jest linniowe

Post autor: yorgin »

TrzyRazyCztery pisze:\(\displaystyle{ L\left(A_{1} + A_{2} \right) = \left(A_{1} + A_{2} \right)^{2} = \left(A_{1} + A_{2} \right) \cdot \left(A_{1} + A_{2} \right) = A_{1}\left(A_{1} + A_{2} \right) + A_{2}\left(A_{1} + A_{2} \right) = A_{1}^2 + A_{2} + A_{2}^2 + A_{1} = A_{1}^2 + A_{2}^2 + A_{2} + A_{1} = L\left(A_{1} \right) + L\left( + A_{2} \right) + A_{2} + A_{1}}\)
wiec pierwszy warunek nie zachodzi. Czy to jest dobre rozwiązanie?
Rachunki są niepoprawne. Poza tym nawet gdyby były poprawne, to nie dowodzą w zasadzie niczego. Zastosuj się do uwagi mojego poprzednika.
TrzyRazyCztery pisze:A trzeciego nie potrafie rozwiązać

\(\displaystyle{ U = V}\) jest przestrzenia funkcji okreslonych na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) o wartosciach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}, L\left( f\right) = \left| f\left( 0\right) \right|}\)
Czy zero przechodzi w zero?
TrzyRazyCztery
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 24 maja 2014, o 17:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wro
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1 raz

sprawdz czy przekształcenie jest linniowe

Post autor: TrzyRazyCztery »

yorgin pisze: Czy zero przechodzi w zero?
Nie bardzo rozumiem



2 punkt:
\(\displaystyle{ A \in U, a \in \mathbb{R}

L\left(a \cdot A\right) = \left( a \cdot A\right) ^{2} = \left(a \cdot A \right)\left( a \cdot A \right) = a \cdot A \cdot a \cdot A = a^{2} \cdot A^{2} = a^{2} L\left( A\right)}\)


Chodzi o cos takiego? czy dalej cos źle licze?
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

sprawdz czy przekształcenie jest linniowe

Post autor: Kacperdev »

\(\displaystyle{ ...=\left( a \cdot A\right) ^{2}= a^2 \cdot A^2}\)

Co do trzeciego yorgin chyba postuluje sprawdzenie "warunku koniecznego".
Wiemy, że wektor zerowy w każdym przekształceniu ma przejść na wektor zerowy. (zero na zero)


Ja początkowo wpadłem na:

\(\displaystyle{ L\left( f_1 + f_2 \right) = \left| f_1\left( 0\right) + f_2\left( 0\right) \right|}\)

\(\displaystyle{ f_1\left( 0\right), f_2\left( 0\right) \in \RR}\)

wiec moge zastosować własność.

\(\displaystyle{ \left| f_1\left( 0\right) + f_2\left( 0\right) \right| \le \left| f_1\left( 0\right) \right| + \left| f_2\left( 0\right) \right|}\)

Równość będzie zachodzić wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ f_1\left( 0\right), f_2\left( 0\right) \ge 0}\) a my wiemy, że ich wartości są z \(\displaystyle{ \RR}\).
W związku z tym łatwo skonstruować kontrprzykład by mieć ostrą nierówność.
ODPOWIEDZ