Witam moje zadanie brzmi:
Dla danych przestrzeni liniowych U i V oraz funkcji \(\displaystyle{ L:U \rightarrow V}\) rozstrzygnac z uzasadnieniem czy L jest przekształceniem liniowym
\(\displaystyle{ U = V = M _{n \times n}\left(\mathbb{R}\right) , L\left(A\right) = A - A ^{T}}\)
zacząłem robic to jakos tak
\(\displaystyle{ A_{1},A_{2} \in U
L\left(A_{1}+A_{2}\right) = \left(A_{1} + A_{2}\right) - \left(A_{1} + A_{2} \right)^{T} =}\)
tutaj nie wiem do końca czy tak można rozbić to transponowanie, intuicje mam ze tak bo dwie dodane do siebie macierze i przetransponowane dadza to samo co oddzielnie przetransponowane.
\(\displaystyle{ = A_{1} + A_{2} - A_{1}^{T} - A_{2}^{T}}\)
i tutaj chyba z prawa dzialania na macierzach że dodawanie jest przemienne
\(\displaystyle{ A_{1} - A_{1}^{T} + A_{2} - A_{2}^{T} = \left(A_{1} - A_{1}^{T}\right) + \left(A_{2} - A_{2}^{T}\right) = L\left(A_{1}\right) + L\left(A_{2}\right)}\)
Wiec tak jakby pierwszy warunek tego żeby było przekształceniem liniowym jest spełniony
w Drugim
\(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}
L\left( a \cdot A\right) = \left(a \cdot A\right) - \left(a \cdot A\right)^{T} =}\)
Tutaj chyba korzystamy z tego ze mnożenie przez skalar macierzy jest przemienne
\(\displaystyle{ = a \cdot A - a \cdot A^{T} = a \left(A - A^{T}\right)}\)
z tego że mnozenie macierzy jest rozdzielne wzgledem dodawania?
\(\displaystyle{ a \cdot L\left(A\right)}\)
Wiec obydwa spełnione czyli jest przekształceniem liniowym?
Czy zrobiłem gdzieś błąd? czy wszystko przekształcenia są prawidłowe? czy nie wymyśliłem jakiś własności których nie ma?
-- 27 maja 2014, o 19:02 --
Drugi przykład mam taki
\(\displaystyle{ U = V = M_{n \times n}\left(\mathbb{R}\right), L\left(A\right) = A^{2}}\)
wpadłem jedynie na cos takiego :
\(\displaystyle{ A_{1},A_{2} \in U
L\left(A_{1} + A_{2} \right) = \left(A_{1} + A_{2} \right)^{2} = \left(A_{1} + A_{2} \right) \cdot \left(A_{1} + A_{2} \right) = A_{1}\left(A_{1} + A_{2} \right) + A_{2}\left(A_{1} + A_{2} \right) = A_{1}^2 + A_{2} + A_{2}^2 + A_{1} = A_{1}^2 + A_{2}^2 + A_{2} + A_{1} = L\left(A_{1} \right) + L\left( + A_{2} \right) + A_{2} + A_{1}}\)
wiec pierwszy warunek nie zachodzi. Czy to jest dobre rozwiązanie?
A trzeciego nie potrafie rozwiązać
\(\displaystyle{ U = V}\) jest przestrzenia funkcji okreslonych na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) o wartosciach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}, L\left( f\right) = \left| f\left( 0\right) \right|}\)
sprawdz czy przekształcenie jest linniowe
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 24 maja 2014, o 17:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wro
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 1 raz
sprawdz czy przekształcenie jest linniowe
Ostatnio zmieniony 27 maja 2014, o 19:18 przez leszczu450, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
sprawdz czy przekształcenie jest linniowe
Ogólnie w porządku, tylko gdzieniegdzie komentarz nieco koślawy:
Nie ma czegoś takiego jak mnożenie macierzy razy skalar. Jst tylko mnożenie skalara razy macierz.
Raczej z własności, że mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów.
EDIT
Cały post odnosi się do pierwszego przykladu.
?Tutaj chyba korzystamy z tego ze mnożenie przez skalar macierzy jest przemienne
Nie ma czegoś takiego jak mnożenie macierzy razy skalar. Jst tylko mnożenie skalara razy macierz.
?z tego że mnozenie macierzy jest rozdzielne wzgledem dodawania?
Raczej z własności, że mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów.
EDIT
Cały post odnosi się do pierwszego przykladu.
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 24 maja 2014, o 17:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wro
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 1 raz
sprawdz czy przekształcenie jest linniowe
nie pisze takeigo komentarza przy zadaniu, pisalem go tutaj tylko żeby spróbować jakoś pokazać jak o tym myślę, w sensie czemu chce wykonać jakies przekształcenie, średnio mi idzie wypowadanie sie w języku matematyki Ale dziekuje serdecznie za poprawe teraz bede wiedział jaki komentarz pisać.
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
sprawdz czy przekształcenie jest linniowe
Drugi przykład znacznie bezpieczniej i prościej obalić z drugiej własności.
W trzecim zacznij tak jak robiłeś poprzednio. Weź jakieś dwie funkcje podstaw, może coś interesującego zauważysz.
W trzecim zacznij tak jak robiłeś poprzednio. Weź jakieś dwie funkcje podstaw, może coś interesującego zauważysz.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
sprawdz czy przekształcenie jest linniowe
Rachunki są niepoprawne. Poza tym nawet gdyby były poprawne, to nie dowodzą w zasadzie niczego. Zastosuj się do uwagi mojego poprzednika.TrzyRazyCztery pisze:\(\displaystyle{ L\left(A_{1} + A_{2} \right) = \left(A_{1} + A_{2} \right)^{2} = \left(A_{1} + A_{2} \right) \cdot \left(A_{1} + A_{2} \right) = A_{1}\left(A_{1} + A_{2} \right) + A_{2}\left(A_{1} + A_{2} \right) = A_{1}^2 + A_{2} + A_{2}^2 + A_{1} = A_{1}^2 + A_{2}^2 + A_{2} + A_{1} = L\left(A_{1} \right) + L\left( + A_{2} \right) + A_{2} + A_{1}}\)
wiec pierwszy warunek nie zachodzi. Czy to jest dobre rozwiązanie?
Czy zero przechodzi w zero?TrzyRazyCztery pisze:A trzeciego nie potrafie rozwiązać
\(\displaystyle{ U = V}\) jest przestrzenia funkcji okreslonych na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) o wartosciach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}, L\left( f\right) = \left| f\left( 0\right) \right|}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 24 maja 2014, o 17:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wro
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 1 raz
sprawdz czy przekształcenie jest linniowe
Nie bardzo rozumiemyorgin pisze: Czy zero przechodzi w zero?
2 punkt:
\(\displaystyle{ A \in U, a \in \mathbb{R}
L\left(a \cdot A\right) = \left( a \cdot A\right) ^{2} = \left(a \cdot A \right)\left( a \cdot A \right) = a \cdot A \cdot a \cdot A = a^{2} \cdot A^{2} = a^{2} L\left( A\right)}\)
Chodzi o cos takiego? czy dalej cos źle licze?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
sprawdz czy przekształcenie jest linniowe
\(\displaystyle{ ...=\left( a \cdot A\right) ^{2}= a^2 \cdot A^2}\)
Co do trzeciego yorgin chyba postuluje sprawdzenie "warunku koniecznego".
Wiemy, że wektor zerowy w każdym przekształceniu ma przejść na wektor zerowy. (zero na zero)
Ja początkowo wpadłem na:
\(\displaystyle{ L\left( f_1 + f_2 \right) = \left| f_1\left( 0\right) + f_2\left( 0\right) \right|}\)
\(\displaystyle{ f_1\left( 0\right), f_2\left( 0\right) \in \RR}\)
wiec moge zastosować własność.
\(\displaystyle{ \left| f_1\left( 0\right) + f_2\left( 0\right) \right| \le \left| f_1\left( 0\right) \right| + \left| f_2\left( 0\right) \right|}\)
Równość będzie zachodzić wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ f_1\left( 0\right), f_2\left( 0\right) \ge 0}\) a my wiemy, że ich wartości są z \(\displaystyle{ \RR}\).
W związku z tym łatwo skonstruować kontrprzykład by mieć ostrą nierówność.
Co do trzeciego yorgin chyba postuluje sprawdzenie "warunku koniecznego".
Wiemy, że wektor zerowy w każdym przekształceniu ma przejść na wektor zerowy. (zero na zero)
Ja początkowo wpadłem na:
\(\displaystyle{ L\left( f_1 + f_2 \right) = \left| f_1\left( 0\right) + f_2\left( 0\right) \right|}\)
\(\displaystyle{ f_1\left( 0\right), f_2\left( 0\right) \in \RR}\)
wiec moge zastosować własność.
\(\displaystyle{ \left| f_1\left( 0\right) + f_2\left( 0\right) \right| \le \left| f_1\left( 0\right) \right| + \left| f_2\left( 0\right) \right|}\)
Równość będzie zachodzić wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ f_1\left( 0\right), f_2\left( 0\right) \ge 0}\) a my wiemy, że ich wartości są z \(\displaystyle{ \RR}\).
W związku z tym łatwo skonstruować kontrprzykład by mieć ostrą nierówność.