Wykazać, że w przestrzeni euklidesowej lub unitarnej \(\displaystyle{ V}\) zachodzą związki:
a) \(\displaystyle{ \wedge _{x,y\in V} x+y\perp x-y \Rightarrow |x|=|y|}\)
b) \(\displaystyle{ \wedge _{x,y\in V} |x+y|=|x-y| \Rightarrow x\perp y}\)
c) \(\displaystyle{ \wedge _{x,y\in V} |x+y| \le |x|+|y|}\)
Przestrzeń euklidesowa i związki.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Przestrzeń euklidesowa i związki.
a)
\(\displaystyle{ ((x+y|x-y)=0)\rightarrow (|x|=|y|)}\)
\(\displaystyle{ (x+y|x-y)= (x|x)-(x|y)+(y|x)-(y|y)= (x|x)-(y|y)=0,}\)
\(\displaystyle{ (x|x)=(y|y),}\)
\(\displaystyle{ |x|^{2}=|y|^{2},}\)
\(\displaystyle{ |x|=|y|.}\)
b)
\(\displaystyle{ |x+y|=|x-y|,}\)
\(\displaystyle{ |x+y|^{2}=|x-y|^{2},}\)
\(\displaystyle{ |x+y|^{2}-|x-y|^{2}=0,}\)
\(\displaystyle{ (x+y|x+y)-(x-y|x-y)= (x|x)+(x|y)+(y|x)+(y|y)-(x|x)+(x|y)+(y|x)-(y|y)=2(x|y)+2(y|x)=2Re(x|y)=0,}\)
\(\displaystyle{ ((x|y)=0)\rightarrow (x\bot y).}\)
c)
\(\displaystyle{ |x+y|^2=(x+y|x+y)=(x|x)+(x|y)+(y|x)+(y|y)=(x|x)+2Re(x|y)+(y|y)\leq (x|x)+2|(x|y)|+(y|y)\leq (|x|+|y|)^{2}}\) ( na podstawie nierówności Schwarza)
Skąd wynika warunek trójkąta
\(\displaystyle{ |x+y|\leq |x|+|y|.}\)
\(\displaystyle{ ((x+y|x-y)=0)\rightarrow (|x|=|y|)}\)
\(\displaystyle{ (x+y|x-y)= (x|x)-(x|y)+(y|x)-(y|y)= (x|x)-(y|y)=0,}\)
\(\displaystyle{ (x|x)=(y|y),}\)
\(\displaystyle{ |x|^{2}=|y|^{2},}\)
\(\displaystyle{ |x|=|y|.}\)
b)
\(\displaystyle{ |x+y|=|x-y|,}\)
\(\displaystyle{ |x+y|^{2}=|x-y|^{2},}\)
\(\displaystyle{ |x+y|^{2}-|x-y|^{2}=0,}\)
\(\displaystyle{ (x+y|x+y)-(x-y|x-y)= (x|x)+(x|y)+(y|x)+(y|y)-(x|x)+(x|y)+(y|x)-(y|y)=2(x|y)+2(y|x)=2Re(x|y)=0,}\)
\(\displaystyle{ ((x|y)=0)\rightarrow (x\bot y).}\)
c)
\(\displaystyle{ |x+y|^2=(x+y|x+y)=(x|x)+(x|y)+(y|x)+(y|y)=(x|x)+2Re(x|y)+(y|y)\leq (x|x)+2|(x|y)|+(y|y)\leq (|x|+|y|)^{2}}\) ( na podstawie nierówności Schwarza)
Skąd wynika warunek trójkąta
\(\displaystyle{ |x+y|\leq |x|+|y|.}\)