Wyznaczyć macierz rzutu ortogonalnego na przestrzeń V

[kejkun7]

Niech\(\displaystyle{ V=lin\{(2,2,1,1),(1,-1,-2,2),(2,-2,1,-1)\}}\)
a) Wyznaczyc rzut wektora \(\displaystyle{ w=(1,2,3,-4)}\) na przestrzen \(\displaystyle{ V}\)

b) Wyznaczyc macierz rzutu ortogonalnego na przestrzen \(\displaystyle{ V}\)


w podpunkcie a) wyszedł mi dobry wynik: \(\displaystyle{ x = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2},4,-3 \right)}\)

ale zastanawiam się jak obliczyć b ?!

odp. jest taka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}\left\{\begin{array}{llll}
9 & -1 & 2 & 2\\
-1 & 9 & 2 & 2\\
2 & 2 & 6 & -4\\
2 & 2 & -4 & 6
\end{array}\right\}$}\)

mogę utworzyć wektory zortonormalizowane:
\(\displaystyle{ w_1 = \frac{1}{ \sqrt{10} } \left(2,2,1,1 \right)}\)

\(\displaystyle{ w_2 = \frac{1}{ \sqrt{10} } \left(1,-1,-2,2 \right)}\)

\(\displaystyle{ w_3 = \frac{1}{ \sqrt{10} } \left(2,-2,1,-1 \right)}\)

tworze sobie z nich macierze np. z \(\displaystyle{ w_1}\) macierze : \(\displaystyle{ 1x4}\) oraz \(\displaystyle{ 4x1}\)
i mnożę je ze sobą, podobnie z \(\displaystyle{ u_2, \ u_3}\)
na końcu dodaje do siebie i wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{10} \left[9,9,6,6 \right]}\)

ale jest to zaledwie przekątna z odpowiedzi.

Proszę o pomoc, bo nie wiem czemu taka jest odpowiedź :/

[terjanq]

Zamiast macierzy 1x4 i 4x1 trzeba było stworzyć 4x1 i 1x4, reszta dobrze