Witam. Zacznę może od oznaczeń:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie operatorem w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\). Przez \(\displaystyle{ \Lambda ^k (A)}\) rozumiemy zwężenie operatora \(\displaystyle{ \bigotimes _{i=1} ^k A}\) do przestrzeni \(\displaystyle{ \Lambda ^k (V)}\), czyli przestrzeni k-wektorów. Otoczenie wskaźników symbolami \(\displaystyle{ []}\) oznacza antysymetryzację względem tych wskaźników.
W podręczniku z którego korzystam wykazana jest tożsamość:
\(\displaystyle{ \det A = A ^{[i_1} _{\quad i_1} \cdot \cdot \cdot A ^{i_n]} _{\quad i_n}}\)
Autor zamieszcza też informację, że podstawiając w miejsce \(\displaystyle{ A}\) operator \(\displaystyle{ A - \lambda \mathrm{id}}\) można znaleźć związek współczynników wielomianu charakterystycznego z wielkościami śladów \(\displaystyle{ \mathrm{Tr} [\Lambda ^k (A)]}\). Udało mi się nawet znaleźć w internecie wzór:
\(\displaystyle{ P_A (\lambda) = \sum _{k=0} ^n \lambda ^{n-k} (-1)^k \mathrm{Tr} [\Lambda ^k (A)]}\)
Niestety nie potrafię wyprowadzić go z podanej tożsamości, może ktoś pomóc?