Czy zbiór jest podprzestrzenią liniową

[TrzyRazyCztery]

Sprawdzić czy zbior
\(\displaystyle{ U = \{(a,b,c) \in \mathbb{R}^{3} : 2a + b = 0\}}\)
jest podprzestrzenią przestrzeni linniowej \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}.}\)

Jedyne na co wpadlem to że musze sprawdzić 3 warunki:
1. \(\displaystyle{ \vec{0}\in U}\)
2. zamknietosc a dzialania dodawania wektorów
3. zamknietosc na dzialania mnożenia przez skalar.
postanowilem wyznaczyc sobie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ a=\frac{b}{2}, b = -2a}\)
wiec \(\displaystyle{ \vec{a} = (\frac{b}{2},-2a,c)}\)
I nie wiem co dalej, jak sprawdzić te warunki? wyznaczyć drugi wektor i dodać je do siebie?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \vec{a} = (\frac{b}{2},-2a,c)}\)

Wciąż masz 3 zmienne. Słabo podstawione \(\displaystyle{ b=-2a}\) .

Z jednego równania nie możesz równoczensie wyznaczyc \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). To bez sensu.

[TrzyRazyCztery]

w sensie lepiej zrobic ten wektor jako \(\displaystyle{ \vec{a}=(a,-2a,c)}\)?

[Kacperdev]

Jedno równanie, jedno podstawienie.Czyli teraz jest ok.

Teraz weź jakiś inny wektor z tej przestrzeni. tzn. będzie on postaci \(\displaystyle{ \left( d,-2d,e\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ e,d \in \RR}\)

Zatem sprawdzamy czy:
\(\displaystyle{ \forall_{x,y \in \RR}\hbox{ } x\left( d,-2d,e\right) + y\left( a,-2a,c\right) \in U}\) ?

[TrzyRazyCztery]

a czemu \(\displaystyle{ \forall_{x,y \in \RR}\hbox{ } x\left( d,-2d,e\right) + y\left( a,-2a,c\right) \in U}\)
a nie poprostu \(\displaystyle{ ( d,-2d,e) + ( a,-2a,c) \in U}\) ?
x,v to skalary? czy co oznacza postawienie x przed wektorem?

[Kacperdev]

Po prostu dwa warunki badamy za jednym zamachem (mnożenie przez skalar i suma wektorów). Tak, \(\displaystyle{ x,y}\) to skalary z naszego ciała (u nas po prostu \(\displaystyle{ \RR}\))

[TrzyRazyCztery]

ok czyli nasz wektor wynikowy \(\displaystyle{ \vec{c} = (xd+ya, -2dx-2ay, cx+ey)}\)
i teraz udowadniamy że \(\displaystyle{ \vec{c} \in U}\)?

[Kacperdev]

Właściwie wystarczy zrobić porządek w wektorze:

\(\displaystyle{ \left (xd+ya, -2dx-2ay, cx+ey\right)= \left( xd+ya, -2\left( xd+ya\right) , cx+ey \right)}\)

Niech \(\displaystyle{ h= xd+ya, l=cx+ey}\) Oczywiście \(\displaystyle{ h,l \in \RR}\)

stąd: \(\displaystyle{ \vec{c} = \left( h,-2h,l\right)}\).

[TrzyRazyCztery]

Rzeczywiście! Dziekuje Ci bardzo !

-- 24 maja 2014, o 22:53 --

2 podpunkt brzmi:
\(\displaystyle{ U = \{(a,b,c) \in \mathbb{R}^{3} : a-c = 2\}}\)
wiec
\(\displaystyle{ c = 2-a}\)

\(\displaystyle{ \vec{a} = (a,b,a-2)}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = (d,e,d-2)}\)

\(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a+d, b+e, 2-a+2-d)}\)
podstawiam:
\(\displaystyle{ l = a+d}\)
\(\displaystyle{ h = b+e}\)

\(\displaystyle{ \vec{c} = (l, h, 4-l) \not\in U}\)
czy to rozwiązałem poprawnie?

[Kacperdev]

Tak. Można też zauważyć, że do tej przestrzeni nie należy wektor zerowy.