Wyznaczyć układ równań liniowych dla danej podprzestrzeni

[makuf]

Witam

Mam takie zadanie:

Wyznacz układ równań liniowych określający podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\)
rozpiętą na wektorach \(\displaystyle{ v1=\left[0,-3,1,1 \right]}\), \(\displaystyle{ v2=\left[1,-1,2,2 \right]}\)
\(\displaystyle{ v3=\left[3,1,1,1 \right]}\).
Czy wektor \(\displaystyle{ w=(2,-4,1,1)}\) należy do tej przestrzeni?

Mój problem polega na tym, że o ile robiłem zadania odwrotne- tzn był podany układ równań liniowych i z niego trzeba było wyznaczyć bazę która rozpina przestrzeń rozwiązań tego układu- o tyle zadań takich jak to tutaj nie robiłem. Rozwiązałem je jakoś po swojemu ale nie wiem czy dobrze to zrobiłem.

Zrobiłem to tak:
Sprawdziłem, że wektory wymienione w zadaniu są niezależne liniowo, czyli tworzą bazę tej podprzestrzeni V, czyli to oznacza, że wśród rozwiązań mamy tu 3 zmienne będące parametrami
czyli będzie tu jedno równanie tylko w układzie równań liniowych, tzn
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{4}=x_{3} \end{cases}}\)

Interesuje mnie jednak pewnik- pewne rozwiązanie i ogólnie rozwiązywanie takich zadań. Będę bardzo wdzięczny.

[Kacperdev]

Skoro podprzestrzeń jest rozpięta na tych wektorach tzn., że \(\displaystyle{ V = \Lin\left\{\left[0,-3,1,1 \right], \left[1,-1,2,2 \right], \left[3,1,1,1 \right] \right\}}\)

Innymi słowy wszytkie wektory z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) są kombinacją linową danych wektorów.

Niech \(\displaystyle{ v=\left( x,y,z,t\right)}\)

\(\displaystyle{ v \in V \Leftrightarrow \exists_{a,b,c \in \RR} \hbox{ } a\left[0,-3,1,1 \right]+ b\left[1,-1,2,2 \right]+c\left[3,1,1,1 \right]= \left( x,y,z,t\right)}\)

Widać jaki układ równań liniowych nam sie szykuje?

[makuf]

No dalej nie , przecież nie znamy a,b i c.
Mógłbyś rozpisać ten układ równań liniowych? Będę bardzo wdzięczny

[Kacperdev]

No właśnie nasze \(\displaystyle{ a,b,c}\) to zmienne w układzie równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 + b + 3c=x \\ -3a-b+c=y \\ ... \end{cases}}\)

[makuf]

???
To w takim razie czym jest x, y, z i t ?
Przecież x, y, z i t to mają być zmienne w układzie równań, a te a, b i c które tutaj napisałeś
to byłyby jak mniemam parametry co do których wyliczamy bazę.

Przecież to ma chyba być układ równań gdzie jedyne nieznane to x,y,z i t, już bez parametrów.
Trzeba to chyba sprowadzić do postaci gdzie nie ma parametrów a jedyne zmienne to właśnie x,y,z i t.

Może podam przykład, w odwrotną stronę to jest np tak:
Mamy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}-2x_{3}-3x_{4}=0\\ 3x_{1}-2x_{2}-x_{3}-4x_{4}=0 \end{cases}}\)
nastepnie robimy macierz schodkowa i wychodzi nam uklad rownan
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-x_{3}-2x_{4}=0\\ x_{2}-x_{3}-x_{4}=0 \end{cases}}\)
czyli widzimy, że \(\displaystyle{ x_{3}=t, x_{4}=s}\), oraz \(\displaystyle{ x_{1}=x_{3}+2x_{4}}\)
i \(\displaystyle{ x_{2}=x_{3}+x_{4}}\)
czyli ogólnie dostajemy, że \(\displaystyle{ \left[x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \right] =t\left[ 1 1 1 0\right] +s\left[ 2 1 0 1\right]}\)

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ x,y,z,t}\) to parametry. W zależnośći od nich układ bedzie miał lub nie miał rozwiązań. Możemy np. podstawić nasz dany wektor \(\displaystyle{ w}\) i nasze parametry przyjmą: \(\displaystyle{ x=2, y=-4, z=1, t=1}\).

Pamiętaj, że to układ rownan ze względu na zmienne: \(\displaystyle{ a,b,c}\)

[makuf]

\(\displaystyle{ x,y,z,t}\) to parametry. W zależnośći od nich układ bedzie miał lub nie miał rozwiązań. Możemy np. podstawić nasz dany wektor \(\displaystyle{ w}\) i nasze parametry przyjmą: \(\displaystyle{ x=2, y=-4, z=1, t=1}\).

Pamiętaj, że to układ rownan ze względu na zmienne: \(\displaystyle{ a,b,c}\)

Ale o czym Ty w ogóle piszesz, jak może być 4 parametry skoro mamy bazę złożoną z 3 wektorów. Przecież to jasne, żę są 3 parametry, jak w ogóle możemy mieć 4 parametry dla układu równań 4 niewiadomych a już 3 to w ogóle xd

Tu masz przykład jak się to robi w odwrotną stronę:

Mamy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}-2x_{3}-3x_{4}=0\\ 3x_{1}-2x_{2}-x_{3}-4x_{4}=0 \end{cases}}\)
nastepnie robimy macierz schodkowa i wychodzi nam uklad rownan
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-x_{3}-2x_{4}=0\\ x_{2}-x_{3}-x_{4}=0 \end{cases}}\)
czyli widzimy, że \(\displaystyle{ x_{3}=t, x_{4}=s}\), oraz \(\displaystyle{ x_{1}=x_{3}+2x_{4}}\)
i \(\displaystyle{ x_{2}=x_{3}+x_{4}}\)
czyli ogólnie dostajemy, że \(\displaystyle{ \left[x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \right] =t\left[ 1 1 1 0\right] +s\left[ 2 1 0 1\right]}\)
czyli baza przestrzeni rozwiązań jest następująca:
\(\displaystyle{ B=\left\{ \left[ 1 1 1 0 \right], \left[ 2 1 0 1 \right] \right\}}\)

I teraz w naszym zadaniu mamy zrobic odwrotnie; mamy podany układ który okazuje się być bazą naszej przestrzeni rozwiązań naszego układu równań liniowych. I teraz musimy znaleźć układ równań postaci takiej jaką masz w tym przykładzie- już bez parametrów, czyli taki jak ten pierwszy układ równań w tym przykładowym zadaniu.

[Kacperdev]

No to wystarczy wyznaczyć:

\(\displaystyle{ \begin{cases} b=x-3c\\ a=z-2b-c \\ ... \end{cases}}\)

Kolejno podstawiać jedno do drugiego i otrzymamy dokładnie to samo.