metoda Grama-Schmidta rzut wekotra na przestrzen

[kejkun7]

Ukklad wektorow \(\displaystyle{ v_{1}=(1,2,2,0) , v_{2}=(0,1,2,1) , v_{3}=(1,2,2,1)}\) przeprowadzic metoda Grama-Schmidta na uklad ortogonalny.

Wyznaczyc rzut wektora \(\displaystyle{ x =(3,-1,1,3)}\)na przestrzen rozpipta na wektorach \(\displaystyle{ v_{1},\ v_{2},\ v_{3}.}\)

wyszło mi:

\(\displaystyle{ u_1 = \left(1,2,2,0 \right)}\)

\(\displaystyle{ u_2 = \frac{1}{3} \left(-2,-1,2,3 \right)}\)

\(\displaystyle{ u_3 = \frac{1}{6} \left(2,1,-2,3 \right)}\)

i zastanawiam się jak wyzaczyć teraz rzut tego wektora ?

-- 7 cze 2014, o 08:56 --

.

[kejkun7]

przesuniecie w góre. Bo nie było do tego opcji..

[musialmi]

Nie wiesz w ogóle, czy w tym konkretnym przypadku nie wychodzi?

[kejkun7]

? no oczywiście, że jest jakaś odpowiedź do tego.

[musialmi]

Nie rozumiem twojej odpowiedzi.

Rzut ortogonalny wyznacza się następująco. Wektor x rzutujemy na podprzestrzeń i dostajemy w rezultacie wektor y, który można wyrazić przez kombinację liniową generatorów podprzestrzeni. Warunek ortogonalności to fakt, że iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \left\langle x-y, e_{1}\right\rangle=\left\langle x-y, e_{2}\right\rangle=\left\langle x-y, e_{3}\right\rangle=0}\), gdzie \(\displaystyle{ e_{i}}\) to generator podprzestrzeni (w tym przypadku trójwymiarowej).

[kejkun7]

to jak wyznaczyć ten generator?
i czym u Cb jest \(\displaystyle{ y}\) ?
bo rozumiem, że \(\displaystyle{ x}\) to ten sam co u mnie?

[musialmi]

"Wektor x rzutujemy na podprzestrzeń i dostajemy w rezultacie wektor y", więc u mn y to rzut wektora x. Wiesz na czym polega rzutowanie, w sensie geometrycznym? x jest ten sam, tak. I wiesz czym jest generator (pod)przestrzeni?

[kejkun7]

czym jest ten generator podprzestrzeni?

[musialmi]

Generatory to wektory bazowe (tworzące bazę; jednak generatorów może być więcej, bo w bazie może być maksymalnie tyle wektorów, ile wynosi wymiar przestrzeni, a generatorów jest nieskończoność, ale to nie jest ważne). W tym przypadku jedną trójką generatorów są wektory \(\displaystyle{ v}\), a drugą trójką wektory \(\displaystyle{ u}\). Te pierwsze tworzą jakąś tam bazę, a te drugie bazę ortogonalną.

Zatem żeby wyznaczyć rzut, musisz za trójkę wektorów \(\displaystyle{ e}\) podstawić (we wzorze, który ci dałem wcześniej) wektory \(\displaystyle{ u}\) lub \(\displaystyle{ v}\) - nie ma to różnicy z tego, co wiem, więc niech ktoś mnie poprawi, jeśli się mylę.