Metoda Grama-Schmidta ortogonalizacja układu

[kejkun7]

Metodą Gramma-Schmidta zortogonalizować układ wektorów \(\displaystyle{ \{v_1, v_2, v_3\}}\),
\(\displaystyle{ v_1=(1,1,0), v_2=(1,0,1), v_3=(0,1,1)}\)
Uzasadnić, że otrzymany układ jest bazą \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Wyznaczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ x=(5,7,0)}\) w tej bazie.

obliczyłem dobrze:
\(\displaystyle{ u_1 = \left(1,1,0 \right) \\ u_2 = \left( \frac{1}{2}, \frac{-1}{2},1 \right) \\ u_3 = \left( \frac{-2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)}\)

teraz zastanawiałem się jak uzasadnić, że jest to bazą.

Pomysł mam taki, że skoro mamy rząd macierzy = \(\displaystyle{ 3}\) oraz posiadamy 3 ortogonalne wektory, to muszą być liniowo niezależne, zatem tworzą bazę.

Co do wyznaczenia wektora \(\displaystyle{ x}\) w tej bazie miałbym taki pomysł, żeby wrzucić te 3 wektory w macierz, a jako wyrazy wolne współrzędne wektora \(\displaystyle{ x}\) i otrzymałbym 3 równania.
i stąd kolejne współczyniki przy danym wektorze \(\displaystyle{ u_i}\)

co o tym sądzicie ?

[kejkun7]

przesunięcie w górę