układ równań różniczkowych- metoda Jordana

[yorgin]

Nie widzę odpowiedzi, więc trudno mi to ocenić. Spermutowanie macierzy przejścia wpływa na wynik, ale Twoja macierz Jordana też została spermutowana (w identyczny sposó), więc wszystko powinno się zgadzać

[yorgin]

Wycofuję się z jednego, co napisałem wyżej.

\(\displaystyle{ e^{J(A)t}}\) jest źle wyznaczone.

[leszczu450]

Ok. Już chyba tę macierz \(\displaystyle{ e^{J(A)t}}\) zrozumiałem. Będzie ona wyglądać tak:

\(\displaystyle{ e^{J(A)t}= \begin{bmatrix} e^{2t}&te^{2t}&0&0&0 \\0&e^{2t}&0&0&0\\0&0&e^{3t}&te^{3t}& \frac{t^2}{2}e^{3t} \\ 0&0&0&e^{3t}&te^{3t} \\ 0&0&0&0&e^{3t}\end{bmatrix}}\)

[yorgin]

leszczu450, przetrawiłem na spokojnie Twoje obliczenia.

Macierz \(\displaystyle{ J(A)}\) dobrze poprawiłeś.

Ale, źle ułożyłeś macierz \(\displaystyle{ P}\).

Jeżeli masz wyznaczone dwa wektory własne odpowiadające \(\displaystyle{ \lambda=2}\), to układasz je w kolejności takiej, w jakiej je otrzymywałeś badając \(\displaystyle{ \mbox{ker}(A-\lambda I)^k}\). A więc najpierw \(\displaystyle{ (0,0,0,1,0)}\) jako wektor własny generujący jądro \(\displaystyle{ A-\lambda I}\). Potem wektor uogólniony \(\displaystyle{ (0,0,0,0,1)}\) dobierany tak, by wygenerować \(\displaystyle{ \mbox{ker}(A-\lambda I)^2}\). I w takiej kolejności - pierwszy wektor to pierwsza kolumna, drugi wektor to druga kolumna.

Podobnie w przypadku wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda =3}\).

[NogaWeza]

Przepraszam za odkop tematu, ale pragnę zgłosić obiekcję co do macierzy przejścia, którą wyznaczył bartek118 w drugim poście.
Rzekomo \(\displaystyle{ P = \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right]}\), wolfram podaje \(\displaystyle{ P^{-1} = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right]}\), niestety okazuje się, że \(\displaystyle{ PJP^{-1} \neq A}\), oto dowód:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B-1,0,1%7D,%7B-1,3,0%7D,%7B1,-1,0%7D%7D+*+%7B%7B-1,1,0%7D,%7B0,-1,1%7D,%7B0,0,-1%7D%7D+*+%7B%7B-1,0,1%7D,%7B-1,3,0%7D,%7B1,-1,0%7D%7D%5E%28-1%29&rawformassumption=%7B%22MC%22,+%22%28-1%29%22%7D+-%3E+%7B%22Parentheses%22%7D

.

Moim zdaniem powinno być tak - z \(\displaystyle{ ker(A + I)^3}\) wybieramy \(\displaystyle{ (1,0,0)}\), to jest nasz uogólniony wektor główny rzędu \(\displaystyle{ 3}\), teraz generujemy tym wektorem

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_eigenvector#Jordan_chains

, po przemnożeniu wybranego wektora przez \(\displaystyle{ (A + I)}\) dostajemy wektor rzędu \(\displaystyle{ 2}\): \(\displaystyle{ (1,-5,1)}\) i teraz albo ten mnożymy przez \(\displaystyle{ (A+I)}\), albo \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) mnożymy przez \(\displaystyle{ (A+I)^2}\) i dostajemy wektor rzędu \(\displaystyle{ 1}\), czyli normalny wektor własny: \(\displaystyle{ (-2,-2,2)}\). Z tych wektorów budujemy kolejne kolumny macierzy przejścia, dostajemy \(\displaystyle{ P = \begin{bmatrix} -2&1&1\\-2&-5&0\\2&1&0\end{bmatrix} \quad P^{-1} = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} 0&1&5\\0&-2&-2\\8&4&12\end{bmatrix}}\)

I teraz już \(\displaystyle{ A = PJP^{-1}}\) - [url=https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B-2,1,1%7D,%7B-2,-5,0%7D,%7B2,1,0%7D%7D+*+%7B%7B-1,1,0%7D,%7B0,-1,1%7D,%7B0,0,-1%7D%7D+*%7B%7B-2,1,1%7D,%7B-2,-5,0%7D,%7B2,1,0%7D%7D%5E(-1)]link do wolframa[/url].

Koniec obiekcji.