macierz Jordana- kilka pytań

[leszczu450]

Cześć !

Wartości własne to \(\displaystyle{ \lambda= 3}\)- dwukrotna oraz \(\displaystyle{ \lambda=5}\). Chcę wyznaczyć rozkład macierzy Jordana dla tych wartości własnych. Wszystko byłoby proste gdyby wartości własne były jednokrotne. Obliczyłem już, że będę miał dwie jednowymiarowe klatki Jordana dla \(\displaystyle{ \lambda=3}\) no i oczywiście jedną jednowymiarową klatkę dla \(\displaystyle{ \lambda=5}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ J(A)= \begin{bmatrix} 3&0&0\\0&3&0\\0&0&5\end{bmatrix}}\)

I tutaj pierwsze pytanie: Czy wartości własne mogłem "włożyć" dowolnie w macierz Jordana? Czy mogłem obojętnie jak na diagonalnej umieścić wartości własne?

Kolejne pytanie. Szukam macierzy przejścia \(\displaystyle{ P}\). Wiem, że jedną kolumną tej macierzy będzie dowolny wektor z przestrzeni wektorów własnych odpowiadającej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=5}\). I wektor ten wstawię jako kolumnę w tym samym miejscu w którym wcześniej w macierzy Jordana wstawiłem odpowiednią wartość własną. Teraz wyznaczyć chcę przestrzeń wektorów własnych odpowiadającą wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=3}\). Jest to przestrzeń generowana przez dwa wektory: \(\displaystyle{ span\left\langle \left( -2,3,0\right),\left( 0,0,1\right) \right\rangle}\). Jak mam wstawić te wektory do macierzy przejścia? Czy kolejność jest ważna?

Czy macierz ta będzie wyglądała tak:

\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} -2&0&1\\3&0&-1\\0&1&1\end{bmatrix}}\)

?

Macierzą układu wygląda tak:

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 9&4&0\\-6&-1&0\\6&4&3\end{bmatrix}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[bartek118]

Kolejność rozmieszczenia klatek w macierzy Jordana jest bez znaczenia, ważne by potem dobrze ułożyć macierz przejścia. Kolejność umieszczenia tych wektorów dla klatek z \(\displaystyle{ 3}\) nie ma znaczenia.

[leszczu450]

bartek118, ok! Czyli moja macierz przejścia wygląda ok? : )

[bartek118]

Tak