układ równań różniczkowych- problem z postacią Jordana

[leszczu450]

Cześć !

To moje pierwsze zadanie dotyczące układów równań różniczkowych. Niestety nie wiem zbyt dużo na temat rozwiązywania takich rzeczy. Zatem proszę Was o pomoc z następującym zadaniem.

Zadanie: Rozwiąż układ równań.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x'(t)=3x-y+z \\ y'(t)=-x+5y-z \\ z'(t)=x-y+3z \end{cases}}\)

Chciałbym żebyście wytłumaczyli mi poszczególne kroki. Na początek wiem że muszę stworzyć macierz:

\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 3&-1&1\\-1&5&-1\\1&-1&3\end{bmatrix}}\)

Wiem, ze muszę policzyć:

\(\displaystyle{ \det\left( A- \lambda I\right) = \det \begin{vmatrix} 3-\lambda&-1&1\\-1&5-\lambda&-1\\1&-1&3-\lambda\end{vmatrix}}\)

i przyrównać go do zera. Stąd otrzymuję \(\displaystyle{ \lambda_1=2 , \lambda_2=3, \lambda_3=6}\)

I teraz tworzę postać Jordana macierzy \(\displaystyle{ A}\).

\(\displaystyle{ J= \begin{bmatrix} 2&0&0\\0&3&0\\0&0&6\end{bmatrix}}\)

Teraz liczę:

\(\displaystyle{ e^{Jt}= \begin{bmatrix} e^{2t}&0&0\\0&e^{3t}&0\\0&0&e^{6t}\end{bmatrix}}\)

Teraz liczę wektory własne odpowiadające wartościom własnym. To znaczy, muszę rozwiązać układ:

\(\displaystyle{ (A-\lambda I)v=0}\), gdzie za lambde wstawiam odpowiednio \(\displaystyle{ 2,3,6}\). W ten sposób wyliczam sobie :
\(\displaystyle{ v^1= s\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ v^2= s\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ v^3= s\begin{bmatrix} 1\\-2\\1\end{bmatrix}}\)

Teraz tak. Nie wiem co mam zrobić z tymi wektorami. Nie wiem jakie uzasadnienie ma to co robię. I ogólnie prosiłbym Was o pomoc w nauczeniu się tego.

Z góry dziękuję.

[yorgin]

1. Tworzysz macierz przejścia złożoną z wektorów własnych. Macierz przejścia tworzysz umieszczając w niej kolumnowo kolejne wektory własne w takiej kolejności, w jakiej zapisałeś wartości własne w macierzy.

2. Uzasadnienie? Łatwo udowodnić, że jeżeli dane jest równanie różniczkowe \(\displaystyle{ x'=Ax}\), to \(\displaystyle{ \{e^{At}c: c\in\RR^n\}}\) jest zbiorem rozwiązań takiego równania. I że innych rozwiązań nie ma. A zatem wystarczy wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ e^{At}}\). Z teorii Jordana wyznaczasz rozkład \(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\). Potem łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ e^{At}=e^{PJP^{-1}}=Pe^{J}P^{-1}}\), skąd \(\displaystyle{ e^{At}=Pe^{Jt}P^{-1}}\) i rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ e^{At}c=Pe^{Jt}P^{-1}c=Pe^{Jt}d, d=P^{-1}c}\). To w pigułce.

[leszczu450]

yorgin, a dlaczego wektory własne wychodzą mi takie dziwne? Zależne od parametru? Co by było gdyby wyszły normalne trzy wektory? A co by się stało gdyby jeden, dwa lub wszystkie wektory byłyby zerowe? Oczywiście póki co rozważam jedynie sytuację, gdy wartości własne wychodzą rzeczywiste.

[yorgin]

Wektory własne nigdy nie wyjdą jednoznacznie wyznaczone, gdyż każdy wektor własny jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ (A-\lambda I)v=0}\). A wiadomo, że takie równanie, o ile jest niesprzeczne, ma rozwiązania tworzące przestrzeń o wymiarze co najmniej równym jeden.

Co z tego? Jeżeli masz całą prostą wektorów własnych skojarzonych z jedną wartością własną, to wybierz sobie byle jaki taki wektor, byle niezerowy. Wektory nie mogą być zerowe.

[leszczu450]

yorgin, nie rozumiem drugiego akapitu Twojego.

Kolejne pytanie. A co gdyby wektor wyszedł mi zależny od dwóch parametrów? Bo w moim przykładzie każdy z wektorów własnych jest zależny od jednego parametru. A co gdy wyjdzie mi zerowy wektor własny? Może się tak zdarzyć? A co gdy wyjdą mi np. dwa takie same wektory własne, a trzeci inny. Wówczas tak czy siak wstawiam je kolumnowo do macierzy ?

[yorgin]

nie rozumiem drugiego akapitu Twojego.

Istnieje dużo macierzy \(\displaystyle{ P}\) dla których zachodzi wypisany wyżej rozkład. Można sobie wybrać jedną z nich ustalając parametry.

A co gdyby wektor wyszedł mi zależny od dwóch parametrów?

Tak jest tylko wtedy, gdy wartość własna jest pierwiastkiem rzędu co najmniej drugiego. Wtedy wartość własną zależną od dwóch parametrów zapisujesz jako kombinację liniową dwóch liniowo niezależnych wektorów, które możesz wpisać do macierzy przejścia.

A co gdy wyjdzie mi zerowy wektor własny? Może się tak zdarzyć?

Nie.

A co gdy wyjdą mi np. dwa takie same wektory własne, a trzeci inny. Wówczas tak czy siak wstawiam je kolumnowo do macierzy ?

Nie mogą Ci wyjść dwa takie same wektory własne. Jaki sens miałby wtedy zapis \(\displaystyle{ P^{-1}}\)?

Poczytaj o rozkładach macierzy na postać Jordana i macierz przejścia (plik, który Ci wczoraj podałem). Ten temat już dawno odszedł od równań różniczkowych, gdzie pierwotnie się znajduje...

[leszczu450]

Temat już jest tam, gdzie powinien być. Niestety algebra liniowa nie jest moją mocną stroną. Jest wręcz pięto Achillesa. To moje pytania odnośnie tematu:

1. yorgin, napisałeś w pierwszym poście, że rozwiązanie musi być takiej postaci \(\displaystyle{ \{e^{At}c: \quad c\in\RR^n\}}\). Skąd to wiemy? Co to w ogóle znaczy podnieść liczbę \(\displaystyle{ e}\) do potęgi, która to jest macierzą? To zdefiniowana operacja? na czym polega? Na działaniu funkcja eksponencjalną na każdy wyraz macierzy?

2. Co to jest postać Jordana? Skąd takie pojęcie? O co z tym w ogóle chodzi?

3. Póki co zajmuję się wyłącznie sytuacją, w której wychodzą mi rzeczywiste wartości własne i to jednokrotne. Wtedy tak jak napisał yorgin wyliczam wektory własne, które wyjdą trzy różne i wstawiam je kolumnowo, w odpowiedniej kolejności do macierzy. Jak ten zabieg wyjaśnić? Czym jest macierz, której kolumny to wektory własne?

[yorgin]

1. yorgin, napisałeś w pierwszym poście, że rozwiązanie musi być takiej postaci \(\displaystyle{ \{e^{At}c: \quad c\in\RR^n\}}\). Skąd to wiemy? Co to w ogóle znaczy podnieść liczbę \(\displaystyle{ e}\) do potęgi, która to jest macierzą? To zdefiniowana operacja? na czym polega? Na działaniu funkcja eksponencjalną na każdy wyraz macierzy?

Wiemy, bo jak pisałem, takie jest twierdzenie.

Podnoszenie \(\displaystyle{ e}\) do macierzy definiuje się przez szereg Taylora eksponenty, tylko że zamiast iksa jest macierz.

2. Co to jest postać Jordana? Skąd takie pojęcie? O co z tym w ogóle chodzi?

Reprezentacja macierzy w postaci iloczynu macierzy przejścia do postaci diagonalnej oraz postaci diagonalnej macierzy. Tego jest za dużo, by o tym pisać, poczytaj więc notatki lub informacje w sieci (wazniak ma to opisane).

3. Póki co zajmuję się wyłącznie sytuacją, w której wychodzą mi rzeczywiste wartości własne i to jednokrotne. Wtedy tak jak napisał yorgin wyliczam wektory własne, które wyjdą trzy różne i wstawiam je kolumnowo, w odpowiedniej kolejności do macierzy. Jak ten zabieg wyjaśnić? Czym jest macierz, której kolumny to wektory własne?

Ten zabieg wyjaśnia dowód twierdzenia Jordana o postaci macierzy \(\displaystyle{ J}\) oraz macierzy przejścia \(\displaystyle{ P}\) i wnioski z obu postaci macierzy. Jest na wazniaku.