Znajdź rzut wektora \(\displaystyle{ u_1}\)\(\displaystyle{ =(1,2,1,1)}\)na przestrzeń rozpiętą przez wektory \(\displaystyle{ u_2=(1,0,1,0)}\), \(\displaystyle{ u_3=(0,0,1,1), u_4=(0,1,1,0)}\).
Proszę o pomoc w tym zadanku.
Czy tutaj mam po prostu znaleźć ortogonalizacje tych wektorów?
Rzut wektora na przestrzeń
-
Balduran
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 17 wrz 2004, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 13 razy
Rzut wektora na przestrzeń
Pierwszy pomysł jest taki, żeby wziąć bazę ortonormalną całej przestrzeni taką, że pierwsze dwa jej wektory to baza twojej podprzestrzeni a ostatnie dwa to baza ortogonalnego dopełnienia. Znajdujesz rozkład wektora w tej bazie i po obcięciu ostatnich dwóch współrzędnych masz rzut na twoją podprzestrzeń Spróbuj sobie sam wytłumaczyć dlaczego to działa, jeśli nie rozumiesz to napisz.
A i jeszcze dodam że można to zrobić trochę szybciej, tzn. wykonać trochę mniej rachunków niż licząc tak jak napisałem, ale wydaje mi się że tą metodą najbardziej widać co się dzieje.
A i jeszcze dodam że można to zrobić trochę szybciej, tzn. wykonać trochę mniej rachunków niż licząc tak jak napisałem, ale wydaje mi się że tą metodą najbardziej widać co się dzieje.
-
Balduran
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 17 wrz 2004, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 13 razy
Rzut wektora na przestrzeń
Można to wszystko sformalizować za pomocą samego języka algebry, i nie jest to bardzo trudne. Ja jednak posłużę się prostą intuicją geometryczną.
Wyobraźmy sobie najpierw, że rozwiązujemy analogiczne zadanie ale w przestrzeni trójwymiarowej - wtedy powłoka liniowa jest pewna płaszczyzną w tej przestrzeni, i co ważne przechodzi przez punkt (0,0,0). Możemy sobie tak dobrać osie układu współrzędnych, że dwa z nich leżą w tej płaszczyźnie a trzeci jest do niej prostopadły (tak jak powierzchnia stołu i kierunek "do góry"). Jak teraz weźmiemy dowolny wektor i wyzerujemy jego trzecią składową, czyli tą pokazującą do góry to chyba jasne jest, że "upuściliśmy" ten punkt na płaszczyznę, prawda? Na tym właśnie polega rzutowanie. Dokładnie tak samo możemy zrobić w przestrzeni czterowymiarowej, tylko już nie jest nam tak łatwo wyobrazić sobie płaszczyzny i dwóch wektorów do niej prostopadłych, prawda? Algebra liniowa i jej abstrakcyjny język pomaga między innymi pomagać sobie w takiej sytuacji, kiedy wyobraźnia już zawodzi.
Zwróć jeszcze uwagę na jeden fakt: w tym rozumowaniu założyłem, że trzeci wektor jest prostopadły do naszej płaszczyzny. Spróbuj sobie wyobrazić taką samą sytuację, tylko trzeci wektor po prostu wychodzi w jakimś kierunku z tej płaszczyzny (nie prostopadle). Czy rzut na płaszczyznę będzie dalej miał taką samą, prostą postać?
I dwa: co z samymi wektorami które rozpinają płaszczyznę? Czy ma jakieś znaczenie czy są ortogonalne?
I jeszcze uwaga na koniec. Cały czas zakładałem w swoim rozumowaniu, że mamy do czynienia z przestrzenią euklidesową, co wydaje mi się uzasadnione po treści twojego posta, ale właściwie to dokładnie tego nie sprecyzowałeś. Pamiętaj jednak że istnieją też inne rodzaje przestrzeni liniowych. Np. zbiór wszystkich funkcji ciągłych na zbiorze liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową, a wcale nie jest oczywiste jak powinniśmy w niej liczyć iloczyn skalarny, co to są kąty, odległości, a na dodatek sama przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa. Być może w zastosowaniach które tobie są potrzebne nie używa się takich przestrzeni i ta uwaga wydaje ci się bardzo tajemnicza - wtedy możesz ją zignorować. Jednak jeśli używasz dowolnych przestrzeni liniowych to pamiętaj że w nich geometria może być zupełnie inna, lub w ogóle pojęcie geometrii może nie mieć wielkiego sensu.
Wyobraźmy sobie najpierw, że rozwiązujemy analogiczne zadanie ale w przestrzeni trójwymiarowej - wtedy powłoka liniowa jest pewna płaszczyzną w tej przestrzeni, i co ważne przechodzi przez punkt (0,0,0). Możemy sobie tak dobrać osie układu współrzędnych, że dwa z nich leżą w tej płaszczyźnie a trzeci jest do niej prostopadły (tak jak powierzchnia stołu i kierunek "do góry"). Jak teraz weźmiemy dowolny wektor i wyzerujemy jego trzecią składową, czyli tą pokazującą do góry to chyba jasne jest, że "upuściliśmy" ten punkt na płaszczyznę, prawda? Na tym właśnie polega rzutowanie. Dokładnie tak samo możemy zrobić w przestrzeni czterowymiarowej, tylko już nie jest nam tak łatwo wyobrazić sobie płaszczyzny i dwóch wektorów do niej prostopadłych, prawda? Algebra liniowa i jej abstrakcyjny język pomaga między innymi pomagać sobie w takiej sytuacji, kiedy wyobraźnia już zawodzi.
Zwróć jeszcze uwagę na jeden fakt: w tym rozumowaniu założyłem, że trzeci wektor jest prostopadły do naszej płaszczyzny. Spróbuj sobie wyobrazić taką samą sytuację, tylko trzeci wektor po prostu wychodzi w jakimś kierunku z tej płaszczyzny (nie prostopadle). Czy rzut na płaszczyznę będzie dalej miał taką samą, prostą postać?
I dwa: co z samymi wektorami które rozpinają płaszczyznę? Czy ma jakieś znaczenie czy są ortogonalne?
I jeszcze uwaga na koniec. Cały czas zakładałem w swoim rozumowaniu, że mamy do czynienia z przestrzenią euklidesową, co wydaje mi się uzasadnione po treści twojego posta, ale właściwie to dokładnie tego nie sprecyzowałeś. Pamiętaj jednak że istnieją też inne rodzaje przestrzeni liniowych. Np. zbiór wszystkich funkcji ciągłych na zbiorze liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową, a wcale nie jest oczywiste jak powinniśmy w niej liczyć iloczyn skalarny, co to są kąty, odległości, a na dodatek sama przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa. Być może w zastosowaniach które tobie są potrzebne nie używa się takich przestrzeni i ta uwaga wydaje ci się bardzo tajemnicza - wtedy możesz ją zignorować. Jednak jeśli używasz dowolnych przestrzeni liniowych to pamiętaj że w nich geometria może być zupełnie inna, lub w ogóle pojęcie geometrii może nie mieć wielkiego sensu.