Macierz przekształcenia liniowego

[Rafal_Apr]

Witam,

otóż rozważałem tak hipotetycznie na podstawie jednego zadanka przekształcenie liniowe będące rzutem prostokątnym punktu na pewną płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi : Ax +By+Cz=0}\) Równanie płaszczyzny dobrałem tak aby przechodziła przez punkt (0,0,0) co jest niezbędne aby w ogóle mówić o przekształceniu. Wyznaczyłem macierz tego przekształcenia: \(\displaystyle{ A_L=\left[\begin{array}{ccc}{1- \frac{A^2}{D}}&{ \frac{-AB}{D}}&{ \frac{-AC}{D} }\\{\frac{-AB}{D}}&{{1- \frac{B^2}{D}}}&{ \frac{-BC}{D}} \\{ \frac{-AC}{D} }&{ \frac{-BC}{D}}&{1- \frac{C^2}{D}}\end{array}\right]}\); gdzie \(\displaystyle{ D=A^2 + B^2 + C^2}\)

Jak widać, macierz tego przekształcenia jest symetryczna, ma to jakąś interpretację czy po prostu tak wyszło?

Pozdrawiam

[Kartezjusz]

O tej sytuacji ... ode15.html

Policz wartości własne.

[Balduran]

Operatory rzutowe są samosprzężone (dlaczego?) a macierz operatora samosprzężonego jest symetryczna.

[Rafal_Apr]

Wartość własna jest tylko jedna (chociaż wielomian charakterystyczny jest stopnia 3) i wynosi ona \(\displaystyle{ \lambda_1 =1}\)
Wektory własne to zbiór wszystkich wektorów leżących na tej płaszczyźnie. Do tego doszedłem, więc to by było na tyle, chociaż pojęcia operatora symetrycznego nie rozumiem.