Witam
Czy mógłbym dostać od was wskazówkę od czego zacząć poniższe zadanie:
Udowodnij, że jeżeli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalnie silnie dominująca, to metoda Jacobiego zastosowana do układu \(\displaystyle{ Ax=b}\) jest zbieżna przy dowolnym wektorze początkowym \(\displaystyle{ x_0}\)
Metoda Jacobiego
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 4 paź 2013, o 21:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wwa
Metoda Jacobiego
Ostatnio zmieniony 13 maja 2014, o 11:44 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 7911
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Metoda Jacobiego
Dowód opiera się na twierdzeniu
Jeżeli \(\displaystyle{ \left|I - Q^{-1}A\right|<1}\) dla pewnej normy indukowanej macierzy, to ciąg
\(\displaystyle{ Qx_{k}= (Q- A)x_{k-1}+b, k\geq 1}\)jest zbieżny do rozwiązania układu \(\displaystyle{ Ax=b}\) dla dowolnego wektora początkowego \(\displaystyle{ x_{0}.}\)
Wynikająca z założenia nierówność \(\displaystyle{ |a_{ii}|> \sum_{j=1,j\neq i}|a_{ij}|}\) prowadzi do wniosku, że spełnione jest założenie powyższego twierdzenia.
Jeżeli \(\displaystyle{ \left|I - Q^{-1}A\right|<1}\) dla pewnej normy indukowanej macierzy, to ciąg
\(\displaystyle{ Qx_{k}= (Q- A)x_{k-1}+b, k\geq 1}\)jest zbieżny do rozwiązania układu \(\displaystyle{ Ax=b}\) dla dowolnego wektora początkowego \(\displaystyle{ x_{0}.}\)
Wynikająca z założenia nierówność \(\displaystyle{ |a_{ii}|> \sum_{j=1,j\neq i}|a_{ij}|}\) prowadzi do wniosku, że spełnione jest założenie powyższego twierdzenia.