Podprzestrzeń liniowa, błąd [?]

[Edward W]

Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \{f\in C(\mathbb R): f(0)\in\mathbb Q\}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ C(\mathbb R)}\). W odpowiedziach mam podane, że nie jest, ale to chyba błąd?


I drugi przykład z tym samym poleceniem, gdzie rozważany zbiór to \(\displaystyle{ A=\{f\in C(\mathbb R):\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty\}}\). Czy tak może wyglądać kontrprzykład?

\(\displaystyle{ f(x)=x\in A}\), ale \(\displaystyle{ 0\cdot\lim_{x\to +\infty}f(x) = \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\cdot\lim_{x\to +\infty} x = \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\cdot x = 1\neq +\infty}\)

[Qń]

Nad ciałem liczb rzeczywistych nie - do zbioru należy funkcja \(\displaystyle{ f}\) tożsamościowo równa \(\displaystyle{ 1}\), ale już na przykład \(\displaystyle{ \pi \cdot f}\) czyli funkcja tożsamościowo równa \(\displaystyle{ \pi}\) nie.

A w drugim niepotrzebnie (i błędnie) komplikujesz - wystarczy powiedzieć, że zero naszej przestrzeni czyli funkcja tożsamościowo równa zero nie należy do zbioru.

Q.

[Edward W]

Rzeczywiście, dziękuję. Poproszę jeszcze o odpowiedź na drugie (dodane) pytanie.

[Kartezjusz]

To właśnie drugi akapit. Zero przestrzeni zawsze jest w podprzestrzeni.