przekształcenie. baza

[waliant]

przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L:\RR ^{3} \rightarrow \RR^{3}}\) ma w bazie \(\displaystyle{ (1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)}\) macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&3&1\\1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}\). Zadanie polega na obliczeniu \(\displaystyle{ L(2,2,3)}\).

Ja kombinuję w ten sposób:

\(\displaystyle{ L(1,0,1)=2 \cdot (1,0,1)+1 \cdot(0,1,2)+0 \cdot (1,1,0)=(2,1,4)}\)
\(\displaystyle{ L(0,1,2)=0 \cdot (1,0,1)+1 \cdot(0,1,2)+2 \cdot (1,1,0)=(4,2,5)}\)
\(\displaystyle{ L(1,1,0)=1 \cdot (1,0,1)+1 \cdot(0,1,2)+0 \cdot (1,1,0)=(2,1,1)}\)

i teraz z liniowości mam: \(\displaystyle{ L(2,2,3)=L(1,0,1)+L(0,1,2)+L(1,1,0)=(8,4,10)}\)


jest ok czy inaczej to się robi?

[Kacperdev]

W porządku.

[Kartezjusz]

Tak .Dobrze zrobione. Ogólnie będzie układem równań

[waliant]

Czyli (żebym miał pewność, że rozumiem w 100%) baza jest podana tylko jedna i odnosi się zarówno do \(\displaystyle{ U}\) jak i \(\displaystyle{ V}\) (w zapisie \(\displaystyle{ L:V \rightarrow U}\)). Mogłyby być dwie różne oraz w przypadku np. przekształcenia \(\displaystyle{ L:\RR ^{3} \rightarrow \RR^{2}}\) byłyby podane dwie bazy: jedna podana dla \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) i druga dla \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) ?

[Kacperdev]

Tak też może sie zdarzyć. Nie musi być jedna baza, a czasem jak sam zauważyłeś nie może być ta sama baza gdy mamy homomorfizmy z rożnych przestrzeni.

[waliant]

Dobra dzięki. Pozdrawiam.

[AiDi]

\(\displaystyle{ L(1,0,1)=2 \cdot (1,0,1)+1 \cdot(0,1,2)+0 \cdot (1,1,0)=(2,1,4)}\)
\(\displaystyle{ L(0,1,2)=0 \cdot (1,0,1)+1 \cdot(0,1,2)+2 \cdot (1,1,0)=(4,2,5)}\)
\(\displaystyle{ L(1,1,0)=1 \cdot (1,0,1)+1 \cdot(0,1,2)+0 \cdot (1,1,0)=(2,1,1)}\)

Przepraszam, ale skąd wziąłeś to współczynniki, licząc od drugiej linijki?

[Kacperdev]

Rzeczywiście. Też sprawdziłem tylko pierwsze i założyłem, że reszta jest ok.
waliant pomieszałeś od drugiej linijki co jest czym.

[waliant]

Źle przepisałem. Powinno być tak:

\(\displaystyle{ L(0,1,2)=3 \cdot (1,0,1)+1 \cdot(0,1,2)+1 \cdot (1,1,0)=(4,2,5)}\)
\(\displaystyle{ L(1,1,0)=1 \cdot (1,0,1)+0 \cdot(0,1,2)+1 \cdot (1,1,0)=(2,1,1)}\)

[Kacperdev]

O, teraz wszystko ok.

[AiDi]

Można też po prostu ten dany wektor rozłożyć w danej bazie, a następnie tak otrzymany wektor złożony z współczynników rozkładu przemnożyć przez macierz od lewej. Chyba bardziej standardowe podejście, korzystające z tego, że macierz jest po prostu dana.