równanie podprzestrzeni

[tukanik]

Cześć
Mamy podprzestrzenie \(\displaystyle{ \RR^4 .}\) Wyznacz układ równań określający podprzestrzeń \(\displaystyle{ W_1 + W_2}\):
\(\displaystyle{ W_1}\) określoną następującymi równaniami:
\(\displaystyle{ \\ x_1 - 4x_2 +3x_3 + 5x_4 = 0
\\ x_1 - 5x_2 + 5x_3 + 8x_4 =0 \\ \\
W_2 = lin ( [1,2,1,8], [2,1,1,1] )\\}\)
Doliczyłem się, że suma algebraiczna daje całą przestrzeń. Dobrze? Raczej chyba źle, bo prawidłowa odpowiedź jest taka: \(\displaystyle{ 2x_1 - 5x_2 + x_4}\)
Ja równania nie zapisałem, bo nie wiem jak to zrobić.

[Balduran]

Z równań na pierwszą przestrzeń możesz dostać jej reprezentację podobną jak tej drugiej przestrzeni (powłoka liniowa pewnej liczby wektorów). Przestrzeń \(\displaystyle{ W_1+W_2}\) jest oczywiście powłoką liniową wektorów z pierwszej i drugiej jednocześnie. Czy wektory z \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\) są liniowo niezależne? Jeśli nie, to co nam zostaje po odrzuceniu tych które możemy już przedstawić jako kombinację pozostałych?

[tukanik]

Sprawdziłem to, są liniowo niezależne.

[Balduran]

Wektory

[1,2,1,8],[2,1,1,1]

faktycznie są liniowo niezależne. Rozwiązując układ który zadaje przestrzeń \(\displaystyle{ W_1}\) dostajemy też dwa liniowo niezależne od siebie wektory których powłoka jest właśnie przestrzenią \(\displaystyle{ W_1}\). Jeśli wrzucimy te cztery wektory do jednego zbioru, to jego powłoka liniowa jest właśnie przestrzenią \(\displaystyle{ W_1 + W_2}\). (czy potrafisz powiedzieć dlaczego?) Ale czy te CZTERY wektory są od siebie liniowo niezależne? A co jeśli nie?

[tukanik]

tak, mówię właśnie o tych czterech.

. Jeśli wrzucimy te cztery wektory do jednego zbioru, to jego powłoka liniowa jest właśnie przestrzenią \(\displaystyle{ W_1 + W_2}\) czy potrafisz powiedzieć dlaczego?)

Bo pierwsze dwa generują jedną podprzestrzeń, a pozostałe dwa drugą podprzestrzeń. Jeżeli znajdą się w jedne bazie to będę również te same przestrzenie generowały, a może coś więcej. Okazuje się, że tak, że rzeczywiście więcej, bo te wektory są ( wg moich obliczeń) liniowo niezależne. Nie wiem skad takie równanie w odpowiedziach jak w pierwszym poście oraz nie wiem, jak mam napisać to równanie.

[Balduran]

tak, mówię właśnie o tych czterech.

Napisz jakie wektory znalazłeś jako rozwiązania tego równania i wytłumacz jak liczyłeś że są liniowo niezależne. Mi wyszło inaczej.

[tukanik]

Rozwiązując pierwszy układ wprowadzam parametry:
\(\displaystyle{ x_4= t, x_3 = s}\)
Zapisuję wektor w ogólnej postaci: \(\displaystyle{ [5s + 7t, 2s+3t,s,t]}\)
Rozbijam na sumę dwóch wektorów:
\(\displaystyle{ [5,2,1,0], [7,3,0,1]}\)
Noi potem sprawdzam liniwową niezależność z dwoma pozostałymi poprzez sprowadzenie macierzy do postaci schodkowej. A to sprawdzałem już parę razy.

[Balduran]

No mi uparcie wychodzi że:
\(\displaystyle{ det \left[ {\begin{array}{cccc}
5 & 2 & 1 & 0 \\
7 & 3 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 8 \\
2 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array} } \right]=0}\)
Więc są liniowo zależne.

[Kartezjusz]

Musi być niezerowy, a nie równy zeru.