Równanie kwadratowe, którego pierwiastkiem jest liczba zesp.

[btanreb]

Ktoś może mi wytłumaczyć w jaki sposób napisać równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, którego pierwiastkiem jest liczba zespolona \(\displaystyle{ z = \frac{\sqrt{3} + i}{(1 + i)^{2}}}\)

[cosinus90]

Jeśli to jedyny pierwiastek, to zapisz to równanie w postaci iloczynowej :

\(\displaystyle{ \left( z-z_{0}\right)^{2} = 0}\)

gdzie \(\displaystyle{ z_{0}}\) to pierwiastek, który napisałeś w swoim poście. Teraz wystarczy podnieść do potęgi, poupraszczać i gotowe.

[yorgin]

cosinus90, szukamy wielomianu rzeczywistego.

btanreb, wyznacz w pierwszej kolejności tę liczbę w postaci \(\displaystyle{ x_1=a+bi}\). Potem skorzystaj z tego, że sprzężenie \(\displaystyle{ x_2}\) również jest pierwiastkiem. Na końcu klasyczny wzorek \(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)}\).

[btanreb]

Ok, a w jaki sposób wyznaczyć \(\displaystyle{ x_1}\)?

[yorgin]

\(\displaystyle{ x_1=z}\).

[Kartezjusz]

Najpierw urzeczywistnij mianownik.

[btanreb]

Mógłby mi ktoś to rozwiązać, żebym zobaczył schemat rozwiązywania?

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}+1 }{(1+i)^{2}}= \frac{( \sqrt{3}+1)(1-i)^{2} }{2}}\) z pomnożenia przez sprzężenie licznika i mianownika. Wymnażając powinieneś otrzymać\(\displaystyle{ z_{0}=a+bi}\)
Nasz wielomian to \(\displaystyle{ (z-z_{0})(z-\overline{z_{0}})}\)

[btanreb]

\(\displaystyle{ ( \sqrt{3} + 1)(1 + 2i + i^{2}) = \sqrt{3} + 2\sqrt{3}i + \sqrt{3}i^{2} + 1 + 2i + i^{2} = \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}i + \sqrt{3}i^{2} + 2i = \sqrt{3}(1 + 2i + i^{2}) + 2i = 2\sqrt{3}i + 2i}\)
dzielę to jeszcze przez mianownik = 2, więc otrzymam: \(\displaystyle{ \sqrt{3}i + i}\)

coś jest nie tak, bo nie otrzymałem \(\displaystyle{ z_{0} = a + bi}\)

[Kartezjusz]

Wyjmij \(\displaystyle{ i}\)przed nawias.

[a4karo]

Trochę błedów w przepisywaniu i rachunkach wam się wkradło:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}+i }{(1+i)^{2}}= \frac{( \sqrt{3}+i)(1-i)^{2} }{4}=\frac{ \sqrt{3}+i }{4}(1-2i+i^2)}=2i\frac{ \sqrt{3}+i }{4}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)