Baza przestrzeni

[musialmi]

Zadanie polega na wyznaczeniu współrzędnych wektora \(\displaystyle{ \left( 4,6,6,6\right)}\) w bazie przestrzeni \(\displaystyle{ U}\). No i wszystko w porządku, tylko sposób, w który jest zapisana ta baza (a raczej cała przestrzeń), jest dla mnie niezrozumiały. A jest to tak:
\(\displaystyle{ U=\left\{ \left( x,y,z,t\right): x-2z-t=0, y-z-t=0 \right\} \subseteq R^{4}}\)

Jak znaleźć tę bazę?

[yorgin]

Postępuj według wskazówek i pomocy zawartej w poniższych tematach:

363855.htm

362017.htm

[musialmi]

Dziękuję bardzo!

Z układu równań wyszło:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=x\\
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}t\\
z=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}t\\
t=t
\end{cases}}\)

Czy to oznacza, że bazę tworzą wektory \(\displaystyle{ \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2},1 \right); \left(0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2},0 \right)}\)? Dobrze zrozumiałem instrukcję z jednego z tych tematów?

[yorgin]

Jest prawie dobrze. Rozwiązanie układu zapisujesz jako wektor

\(\displaystyle{ \left( x, \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}t,\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}t,t\right)=x\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)+t\left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)}\)

i stąd widać, jakie są wektory bazowe.

Swoją drogą, zadanie jest źle sformułowane, gdyż \(\displaystyle{ (4,6,6,6)\notin U}\).