forma dwuliniowa, zmiana bazy

[waliant]

forma dwuliniowa ma w bazie \(\displaystyle{ \left\{ (1,2),(2,1)\right\}}\) macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&-1\\-1&3\\\end{array}\right]}\) . Jak mam znaleźć jej macierz w bazie \(\displaystyle{ \left\{ (4,-3),(5,-3)\right\}}\) ?

[norwimaj]

Załóżmy, że masz wektory \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) (które traktuję jako macierze o dwóch wierszach i jednej kolumnie), i chcesz obliczyć dla nich wartość formy. Najpierw zapisujesz te wektory w pierwszej bazie: \(\displaystyle{ S^{-1}x}\) i \(\displaystyle{ S^{-1}y}\), gdzie \(\displaystyle{ S=\begin{bmatrix}1&2 \\2&1\end{bmatrix}}\). Wartość formy jest równa

\(\displaystyle{ (S^{-1}x)^T \left[\begin{array}{ccc}0&-1\\-1&3\\\end{array}\right] S^{-1}y.}\)

Możesz podstawiać za \(\displaystyle{ (x,y)}\) pary wektorów z drugiej bazy, otrzymując wyrazy macierzy formy w drugiej bazie.


Jeszcze mała uwaga.

forma dwuliniowa ma w bazie \(\displaystyle{ \left\{ (1,2),(2,1)\right\}}\) macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&-1\\-1&3\\\end{array}\right]}\).

Tutaj kolejność wektorów w bazie ma znaczenie, więc moim zdaniem powinno się zapisywać bazę jako ciąg: \(\displaystyle{ ((1,2),(2,1))}\), a nie jako zbiór.