znajdź wartość punktu dla izometrii

Nihilius · Post autor: **Nihilius** » 8 maja 2014, o 11:59

Hej mam ogromny problem z zadaniem z izometrii. Prosiłbym o pomoc przy zadaniu najchętniej pokazanie krok po kroku jak je zrobić bo nie potrafię żadnego z zadan takich ruszyć. Mam dana prosta \(\displaystyle{ K=af((1,1,0)(0,1,1)}\)oraz punkt \(\displaystyle{ p= (1,0,0)}\)Dla każdej izometrii takiej ze \(\displaystyle{ g (p)=p}\)oraz \(\displaystyle{ g(K)=K}\) znaleźć \(\displaystyle{ g (3,1,1)}\)
Pierwsza myśl to ze izometria może być identycznoscia ale jest ich wiele pewnie ale ja nie wiem jak szukać.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 8 maja 2014, o 12:11

Zauważmy,że \(\displaystyle{ f((0,0,0))=((0,0,0))}\)
Istotnie: To jest izometria, więc odległość od punktu \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) musi zostać niezmieniona,czyli zero. Teraz nietrudno pokazać,że to jest identyczność.

Nihilius · Post autor: **Nihilius** » 8 maja 2014, o 12:16

Ale skąd wiemy ze f (0,0,0)=(0,0,0) ? I czy tych izometrii nie będzie więcej ?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 8 maja 2014, o 12:29

Załóż, że jest inaczej. \(\displaystyle{ f(0,0,0)=(k,l,m) ; klm \noteq 0}\). Jaka jest odległość punktu \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)od argumentu, a jaka od punktu\(\displaystyle{ (k,l,m)}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 8 maja 2014, o 13:14

Zastanów sie najpierw jakie sa izometrie przestrzeni. które przeprowadzaja prosta \(\displaystyle{ K}\) w siebie. Potem sprawdź, które z nich nie ruszaja punktu \(\displaystyle{ p}\).
Na początek nie rób zadnych obliczeń - po prostu uruchom wyobraźnię.

Uwaga, że \(\displaystyle{ f(0,0,0)=(0,0,0)}\) nie jest słuszna.

Nihilius · Post autor: **Nihilius** » 8 maja 2014, o 13:32

Myślę że identycznosc na pewno. Potem może coś w stylu \(\displaystyle{ f(x, y, z)=liczba*(x, y, z)}\)

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 8 maja 2014, o 13:35

Tylko czy to izometria,a inne przekształcenia?

Nihilius · Post autor: **Nihilius** » 8 maja 2014, o 13:48

No jest równowartościowe i na i chyba zachowuje iloczyn skalarny. Ale na inne pomysłu nie mam. Przesunięcie o wektor ? Tylko tak wzdłuż może prostej ?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 8 maja 2014, o 13:57

to podaj mi odległość zera i punktu niezerowego przy \(\displaystyle{ a \noteq 0}\)
Tak, też mi się tak zdaje, masz zachowany punkt.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 8 maja 2014, o 14:20

Wiecej wyobrażni: lustra, obroty, odbicia, przesunięcia...

Nihilius · Post autor: **Nihilius** » 9 maja 2014, o 20:03

Napisalem o przesunięciu wyobraźnia na galu rzecz przydatna, mi póki tej przestrzennej minimalnie brakuje.
Przesunięcie nie jest chyba tym co szukamy, bo wtedy punkt p zmieniłby współrzędne.
Za to obrót i identyczność wygląda bardzo obiecująco

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 10 maja 2014, o 16:32

Co zachowuje prostą i punkt.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 10 maja 2014, o 17:49

Niech \(\displaystyle{ p'}\) będzie rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ p}\) na prostą \(\displaystyle{ K}\). Czemu może się równać \(\displaystyle{ g(p')}\)?

Nihilius · Post autor: **Nihilius** » 11 maja 2014, o 12:24

no przy założeniu że identyczność \(\displaystyle{ p'}\) obrót to już się zmienić może ?
Ehh jestem beznadziejny w zadaniach z geometrii :/

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 11 maja 2014, o 14:16

Nihilius pisze:no przy założeniu że identyczność \(\displaystyle{ p'}\) obrót to już się zmienić może ?

A czy Ty już masz udowodnione, że to może być tylko identyczność albo obrót? Bo szczerze powiedziawszy, widzę też inne możliwości.

Skoro \(\displaystyle{ g}\) zachowuje prostą \(\displaystyle{ K}\), to oczywiście \(\displaystyle{ g(p')\in K}\). A ponadto skoro \(\displaystyle{ g}\) jest izometrią, to \(\displaystyle{ d(p,p')= d(g(p),g(p'))= d(p,g(p'))}\). Zatem gdzie może być ten punkt \(\displaystyle{ g(p')}\)?