wektory własne i wartości własne

[nowy14]

Witam wszystkich,
mam obliczyć wartości własne i wektory własne daną mam macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{array}\right]}\)
i dochodzę do momentu w którym otrzymuję: \(\displaystyle{ (a-\lambda)^{3}}\)\(\displaystyle{ +2b^{2}}\)\(\displaystyle{ -3ab^{2}}\)\(\displaystyle{ -3\lambda b^{2}}\) i nie wiem jak dalej to ruszyć trzeba by to zgrupować i zastosować podobno dzielenie wielomianów, ale nie miałem tego niestety. Nawet przeczytanie o tym w Internecie niewiele mi dało. Super by było gdyby ktoś pokazał jak to rozwiązać.
Z góry wielkie dzięki

a i wynik to podobno:
\(\displaystyle{ \lambda=a-b\\
\lambda=a-2b}\)

[lukasz1804]

Równanie charakterystyczne ma postać \(\displaystyle{ (a-\lambda)^3+2b^3-3b^2(a-\lambda)=0}\).

U Ciebie gdzieś w obliczeniach zaszła pomyłka - jeśli masz ochotę, zaprezentuj swoje rachunki.

Warto w tym miejscu dokonać podstawienia: \(\displaystyle{ t=a-\lambda}\). Wskutek tego otrzymamy równanie trzeciego stopnia z jednym parametrem \(\displaystyle{ b}\):

\(\displaystyle{ t^3-3b^2t+2b^3=0}\).

Mamy dalej \(\displaystyle{ 0=t^3-b^2t-2b^2t+2b^3=t(t^2-b^2)-2b^2(t-b)=t(t+b)(t-b)-2b^2(t-b)=(t-b)(t^2+bt-2b^2)=(t-b)(t^2-b^2+bt-b^2)=(t-b)[(t+b)(t-b)+b(t-b)]=(t-b)^2(t+2b)}\).
Wracając teraz do \(\displaystyle{ \lambda}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ [\lambda-(a-b)]^2[\lambda-(a+2b)]=0}\).

Zatem, jeśli ja się gdzieś nie zgubiłem po drodze, otrzymujemy dwie wartości własne: podwójną równą \(\displaystyle{ a-b}\) oraz pojedynczą \(\displaystyle{ a+2b}\).