Podprzestrzeń liniowa przestrzeni

[Asia34]

Który z podanych zbiorów jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\)

\(\displaystyle{ Y=\left\{ (x,y,z):x ^{2}-y ^{2}=z ^{2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ Z=\left\{ (y,z-y,2x):x,y \in R\right\}}\) ?

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ a(x,y,z)+b(x',y',z')=(ax+bx',ay+by',az+bz')}\)

Obliczenia pomocnicze:    

\(\displaystyle{ x^2-y^2=z^2, (x')^2-(y')^2=(z')^2}\)
\(\displaystyle{ (ax+bx')^2-(ay+by')^2=a^2x^2-a^2y^2+2abxx'-2abyy'+b^2(x')^2-b^2(y')^2=a^2z^2+2ab(xx'-yy')+b^2(z')^2}\)

Aby \(\displaystyle{ Y}\) była podprzestrzenią, musiałby być spełniony następujący warunek:
\(\displaystyle{ xx'-yy'=zz'}\), tj.
\(\displaystyle{ (xx')^2-(xy')^2-(x'y)^2+(yy')^2=(x^2-y^2)[(x')^2-(y')^2]=(xx'-yy')^2=(xx')^2-2xx'yy'+(yy')^2}\), czyli \(\displaystyle{ xy'=x'y}\).

Biorąc np. \(\displaystyle{ (x,y,z)=(13,5,12), (x',y',z')=(5,3,4)}\) łatwo zauważamy, że \(\displaystyle{ (x,y,z)-(x',y',z')=(8,2,8)\notin Y}\), więc \(\displaystyle{ Y}\) nie jest podprzestrzenią.

Komentarz do obliczeń:    

Widać, że podane pary \(\displaystyle{ (x,y,z),(x',y',z')}\) nie spełniają równości \(\displaystyle{ xy'=x'y}\), która gwarantowałaby, że dowolna kombinacja liniowa powyższych par należy do \(\displaystyle{ Y}\).