Baza przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej 2.

[Heisenberg]

Dobrać takie wartośći parapetru \(\displaystyle{ p}\), aby wielomian \(\displaystyle{ x^{2}+px+p ^{2}}\) był uzupełnieniem wielomianów \(\displaystyle{ 2x ^{2} +2x-1}\),\(\displaystyle{ x ^{2} -x+1}\) do bazy przstrzeni \(\displaystyle{ R _{2}\left[ x\right]}\)

[Kacperdev]

Zauważ, że wielomian np.: \(\displaystyle{ 2x ^{2} +2x-1}\) możesz rozpatrzeć jako \(\displaystyle{ \left[ 2,2,-1\right]}\).

Widzisz analogie?

[Heisenberg]

Zauważ, że wielomian np.: \(\displaystyle{ 2x ^{2} +2x-1}\) możesz rozpatrzeć jako \(\displaystyle{ \left[ 2,2,-1\right]}\).

Widzisz analogie?

Tak ten wielomian mogę rozpatrzeć jako wektor \(\displaystyle{ [2,2,-1]}\) w bazie standardowej \(\displaystyle{ B=\left\{ x ^{2},x,1 \right\}}\)

Przestrzeń \(\displaystyle{ R _{2}\left[ x\right]}\) ma wymiar 3 więc dowolna jego baza musi się składać z trzech wektorów liniowo niezależnych. Tak więc po prostu mogę napisać,że wyznacznik det \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&p&p ^{2} \\2&2&-1\\1&-1&1\end{array}\right] \neq 0}\)

Albo inaczej, sprawdzić liniową niezależność licząc rząd macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&p&p ^{2} \\2&2&-1\\1&-1&1\end{array}\right]}\), a następnie dla równości \(\displaystyle{ a(1,-1,1)+b(2,2,-1)+c(1,p,p ^{2})=(1,1,1)}\) dla a,b,c \(\displaystyle{ \in R}\) sprawdzić czy a,b,c są jednoznacznie określone ?

[Kacperdev]

Albo inaczej, sprawdzić liniową niezależność licząc rząd macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&p&p ^{2} \\2&2&-1\\1&-1&1\end{array}\right]}\), a następnie dla równości \(\displaystyle{ a(1,-1,1)+b(2,2,-1)+c(1,p,p ^{2})=(1,1,1)}\) dla a,b,c \(\displaystyle{ \in R}\) sprawdzić czy a,b,c są jednoznacznie określone ?

Ten rząd musi być równy \(\displaystyle{ 3}\), więc sprawa i tak zamyka sie do pierwszego sposobu z wyznacznikiem.