Czy dane wektory generują daną przestrzeń liniową

[Asia34]

Czy podane zbiory wektorów są bazą przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R ^{3}}\)

\(\displaystyle{ B=\left\{ (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\right\}}\)

Sprawdziłam, że są liniowo niezależne. A teraz jak sprawdzić, czy generują przestrzeń \(\displaystyle{ R ^{3}}\)

[yorgin]

W przestrzeniach skończenie wymiarowych o wymiarze \(\displaystyle{ n}\) układ \(\displaystyle{ n}\) liniowo niezależnych wektorów stanowi jednocześnie układ generujący oraz bazę takiej przestrzeni.

Jeżeli chcesz zrobić to zadanie z definicji, to weź wektor \(\displaystyle{ (x,y,z)\in \RR^3}\) i spróbuj znaleźć współczynniki \(\displaystyle{ a, b, c\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(x,y,z)}\).

[Asia34]

ok, czyli z tego wychodzą mi takie rozwiązania \(\displaystyle{ a= \frac{x-z+y}{2} b=z-y- \frac{x-z+y}{2} c=y- \frac{x-z+y}{2}}\)

I w tym chodzi o to aby te liczby a,b,c były jednoznacznie określone ?

[yorgin]

I w tym chodzi o to aby te liczby a,b,c były jednoznacznie określone ?

Tak. A to jest zapewnione, gdy wyznacznik główny układu jest niezerowy.

[Asia34]

A mogę też napisać, że to jest układ Cramera z trzema niewiadomymi a,b,c ?

[yorgin]

Możesz. Nie widzę ku temu przeszkód.