Suma form symetrycznej i antysymetrycznej

[musialmi]

Podane formy dwuliniowe \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}}\) przedstawić jak sumę formy symetrycznej i antysymetrycznej.

\(\displaystyle{ f\left( x,y\right)=x_{1}y_{1}-3x_{1}y_{2}-5x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2}}\)

\(\displaystyle{ f\left( x,y\right)=x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+2x_{2}y_{3}+3x_{3}y_{2}+5x_{3}y_{3}}\)

Proszę o zrobienie któregoś z podpunktów. Wiem czym jest forma symetryczna, wiem czym antysymetryczna, ale nie wiem jak znaleźć rozwiązania tego zadania.-- 4 maja 2014, o 10:10 --,

[waliant]

Zrób to na macierzach.

[musialmi]

Zrobię sobie macierz zadanej formy. Ona się równa sumie macierzy B i C. Macierze B i C to macierze funkcjonału symetrycznego i antysymetrycznego. Nie wiem nic o ich zawartości (oprócz wymiaru). Pomocy!

[Kartezjusz]

Jak dokonasz transpozycji obustronnej otrzymasz
\(\displaystyle{ A^{T}=(B+C)^{T}=B^{T}+C^{T}}\)

Co w tym języku oznacza,że macierz jest symetryczna i antysymetryczna?

[musialmi]

W macierzy formy symetrycznej zachodzi \(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ji}}\), tak? A w antysymetrycznej \(\displaystyle{ a_{ij}=-a_{ji}}\)?

[waliant]

dodatkowo w antysymetrycznej występują zera na głównej przekątnej.

[musialmi]

Okeeej, super, zrobiłem to do pewnego miejsca, już pokazuję. Wskazówka z powyższego posta jest oczywistą oczywistością, ale miło, że padła. No to pokazuję. Mowa o pierwszym przykładzie, który podałem. Jednak nie rozumiem po co transpozycja (na razie się nie przydała).

Najpierw obliczyłem wartości w kolejnych komórkach macierzy, czyli \(\displaystyle{ f\left( e_{1},e_{1}\right),f\left( e_{1},e_{2}\right),f\left( e_{2},e_{1}\right),f\left( e_{2},e_{2}\right)}\). Owe wektory to wektory bazy standardowej. Dostałem macierz i wstawiając ją do równania, jest:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & -3\\
-5 & 1
\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12}\\
b_{12} & b_{22}
\end{bmatrix}^{T}+\begin{bmatrix}0 & c_{12}\\
-c_{12} & 0
\end{bmatrix}^{T}}\)

Rozwiązuję układ równań, wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & -3\\
-5 & 1
\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}1 & -4\\
-4 & 1
\end{bmatrix}^{T}+\begin{bmatrix}0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}^{T}}\)

Właściwie mógłbym chyba uznać, że to koniec zadania, prawda? W końcu obie macierze po prawej stronie równania odwołują się do konkretnego funkcjonału symetrycznego i antysymetrycznego. Ale można pewnie zapisać to wzorami (w sposób, w jaki została w zadaniu dana forma dwuliniowa). Jak?

[Kartezjusz]

Układ równań polecam zrobić macierzowy
Z jednej strony mamy przedstawić to jako sumę:
\(\displaystyle{ C=A+B}\)
Z drugiej są to macierze symetryczne i antysymetryczne
\(\displaystyle{ C^{T}=A^{T}+B^{T}=A-B}\)
bo w symetrycznej \(\displaystyle{ A^{T}=A}\) oraz antysymetrycznej \(\displaystyle{ B^{T}=-B}\)

[musialmi]

Ale wszystkie wyrazy są już znalezione, macierze są więc dane, a zatem czemu miałbym rozwiązywać jeszcze raz układ równań?

[Kartezjusz]

OK, dobra.

[musialmi]

Ale oczywiście dziękuję za poradę. Mógłby jeszcze ktoś napisać odpowiedź w temacie tego wzoru?