Prosiłbym o sprawdzenie, czy tak to powinno wyglądać.
Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ W=\{(x_n)\in\mathbb R^{\infty}: (x_n) - \mbox{ ciąg arytmetyczny}\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \mathbb R^{\infty}}\).
Niech \(\displaystyle{ (x_n){,}(y_n)\in W,\alpha\in\mathbb R}\).
Wtedy: \(\displaystyle{ \exists p{,}r\in\mathbb R\forall n\in\mathbb N: x_{n+1}=x_n+p, y_{n+1}=y_n+r}\) oraz:
\(\displaystyle{ x_{n+1}+y_{n+1}=x_n+p+y_n+r=(x_n+y_n) + (p+r)}\), zatem \(\displaystyle{ x_{n+1}+y_{n+1}\in W}\); \(\displaystyle{ \alpha (x_{n+1}) = \alpha x_n+\alpha p\in W}\). Tak więc \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathbb R^{\infty}\).
