baza, macierz

tukanik · Post autor: **tukanik** » 29 kwie 2014, o 22:10

Niech \(\displaystyle{ B = (v_1 , v_2 , v_3 )}\) będzie bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) . Czy wektory \(\displaystyle{ u_1 , u_2 , u_3}\) można przyjąć za bazę
przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) , jeśli wiadomo, że:
a) \(\displaystyle{ u_1 = [2, −1, 0]_B , u_2 = [−1, 2, −1]_B , u_3 = [1, −1, −1]_B}\)

Post autor: **AiDi** » 29 kwie 2014, o 22:16

W czym problem? Kiedy układ wektorów stanowi bazę przestrzeni wektorowej?

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 29 kwie 2014, o 22:19

tukanik, macierz buduj i sprawdź wyznacznik : )

tukanik · Post autor: **tukanik** » 29 kwie 2014, o 22:34

to wiem.
Tak samo wiem, jak wiem przejść z tego zapisu w postaci wektora współrzędnych.
Ok, bo mamy takie wektory:
\(\displaystyle{ u_1 = 2v_1 -v_2 \\
u_2 = -v_1 + +2v_2 -v_3
u_3 = v_1 -v_2 -v_3}\)
I teraz nie wiem jak pokazać, że będą stanowiły bazę. Mam taki pomysł, żeby z definicji liniowej niezależności pokazać, że ich kombinacja da zero, jeżeli wszystkie współczynniki będą zerowe. I tu myślę, żeby powołać się na liniową niezależność wektorów \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3}\) Nawet jeżeli plan jest dobry, to chciałbym, żeby ktoś mi pokazał przynajmniej jedną część.
Pozdrawiam -- 29 kwi 2014, o 21:36 --leszczu450, ok. To jest myśl. Tylko co jak macierz zdarzy się niekwadratowa ( np. w innym zadaniu?). A tą macierz to mam budować z takich wektorów \(\displaystyle{ u_i}\), jak powyżej zapisałem?

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 29 kwie 2014, o 22:40

tukanik, masz już wyliczone wektory \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3}\). Teraz budujesz z nich macierz \(\displaystyle{ 3 \times 3}\). I sprawdzasz jej wyznacznik. Więcej wektorów nie będzie. Bo bazę przestrzeni trójwymiarowej stanowią \(\displaystyle{ 3}\) wektory liniowo niezależne.

tukanik · Post autor: **tukanik** » 29 kwie 2014, o 22:41

tak, ale jak byłoby inne zadanie.-- 29 kwi 2014, o 21:47 --rozumiem, że wyznacznik ma wyjść niezerowy, żeby stanowiły bazę. Rozumiem, że sprawdzenie tego wyznacznika to sprawdzenie liniowej niezależności. Czy tak?

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 29 kwie 2014, o 22:48

tukanik, na pewno nie byłoby zadania żebyś sprawdził czy jakieś 4 wektory tworzą baze przestrzeni trójwymiarowej, bo to nielogiczne. Możesz np. dostać ileś tam wektorów i pokazać, które z nich tworzą bazę. Wtedy bierzesz każde możliwe trójki i po kolei budujesz wyznaczniki z nich i sprawdzasz : )-- 29 kwi 2014, o 22:49 --tukanik, dokładnie tak. Poczytaj o tym na forum i w sieci. Mnóstwo takich tematów. : )

tukanik · Post autor: **tukanik** » 29 kwie 2014, o 22:54

Znajdź przestrzenie generowane i zbadaj czy podany układ jest ich bazą:

\(\displaystyle{ lin{(−1, 2, 1, −4), (2, −7, −2, 5), (−3, 9, 3, −9)};}\)
W jakim sensie mam znaleźć ?-- 29 kwi 2014, o 21:58 --poza tym, jak mam podawać bazę, jak przecież wiadomo, że te wektory z nawiasów są bazą.
Chodzi mi dokładniej o to, co oznacza znaleźć? Bo pozostałe elementy tej bazy to będą kombinacje tych w środku. Ale jak to zapisać to nie wiem

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 29 kwie 2014, o 23:00

tukanik, wchodzisz w google. Wpisujesz "znajdź przestrzeń generowaną". Wyskoczy milion liników w tym pewnie pierwszy z góry link z tematami o podobnych nazwach z naszego forum. Klikasz i masz setki takich zadań : ) Jak już po tych poszukiwaniach nie będziesz wiedział jak zrobić to napisz : )

Tutaj link:

... ematyka.pl

Przeglądaj tak daleko aż nazwy tematów będą pasować. Pewnie z 10 stron spokojnie można przejrzeć. To daje Ci z 50 tematów tylko pod tym hasłem. Wpisz potem "podprzestrzeń generowana" i będziesz miał kolejną dawkę zadań : ) To mój sposób . Polecam !-- 29 kwi 2014, o 23:07 --Zobacz np. tutaj

309754.htm

Pan Szymon to ładnie opisuje. Ja czytając Jego posty zawsze jakoś łatwiej wszystko łapię : )

tukanik · Post autor: **tukanik** » 29 kwie 2014, o 23:23

Możesz mi pokazać jeden wiersz z tej macierzy? Chcę zobaczyć czy dobrze narysowałem.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 29 kwie 2014, o 23:30

tukanik, dobra, ale tak łatwo nie będzie : ) Trochę wysiłku włóż w to zadanie. Co na pewno możesz powiedzieć o tych trzech wektorach? Z jakiej przestrzeni to są wektory? Jakiej przestrzeni na pewno nie generują ?

tukanik · Post autor: **tukanik** » 29 kwie 2014, o 23:34

( chodzi mi o pierwsze zadanie )

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 29 kwie 2014, o 23:38

tukanik, bierzesz te trzy wektory i budujesz wyznacznik : ) Przecież Ci napisałem już : ) I możesz wstawić je jako kolumny lub jako wiersze- chociaż jakoś przyjęło się wstawianie wierszami.

tukanik · Post autor: **tukanik** » 29 kwie 2014, o 23:41

czyli wierszem ma być?
\(\displaystyle{ 2v_1 - v_2}\)

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 29 kwie 2014, o 23:46

\(\displaystyle{ u_1 = [2, −1, 0]_B , u_2 = [−1, 2, −1]_B , u_3 = [1, −1, −1]_B}\)

Dla tych wektorów masz sprawdzić czy są one bazą w \(\displaystyle{ \RR^3}\)

Budujemy więc wyznacznik:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2&1&0\\1&2&1\\1&1&1\end{vmatrix}= 2 \neq 0}\)

Zatem odpowiedź to : Tak, te wektory tworzą bazę w \(\displaystyle{ \RR^3}\).