Prosiłbym o sprawdzenie poprawności.
Wykazać, że warunki:
\(\displaystyle{ (1)\forall w_1,w_2\in W: w_1+w_2\in W}\),
\(\displaystyle{ (2)\forall \alpha\in K\forall w\in W: \alpha w\in W}\)
definicji podprzestrzeni liniowej są równoważne warunkowi:
\(\displaystyle{ \forall\alpha\in K\forall w_1,w_2\in W: aw_1+w_2\in W}\) [gdzie V - przestrzeń liniowa nad ciałem K, W - podprzestrzeń liniowa przestrzeni V].
\(\displaystyle{ (\Longrightarrow )}\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ \forall w_1,w_2\in W: w_1+w_2\in W; \forall \alpha\in K\forall w\in W: \alpha w\in W}\) i niech dane będą dowolne \(\displaystyle{ w_1,w_2\in W,\alpha\in K}\). Wtedy z \(\displaystyle{ (2)}\) mamy, że \(\displaystyle{ \alpha w_1\in W}\), a skoro \(\displaystyle{ \alpha w_1, w_2\in W}\), to z \(\displaystyle{ (1)}\) mamy, że \(\displaystyle{ \alpha w_1+w_2\in W}\). Z dowolności wyboru \(\displaystyle{ \alpha, w_1, w_2}\) wnioskujemy, że zachodzi: \(\displaystyle{ \forall\alpha\in K\forall w_1,w_2\in W: aw_1+w_2\in W}\).
\(\displaystyle{ (\Longleftarrow )}\) Niech \(\displaystyle{ \forall\alpha\in K\forall w_1,w_2\in W: aw_1+w_2\in W}\). Ustalmy dowolnie \(\displaystyle{ w_1,w_2\in W}\). Wtedy w szczególności \(\displaystyle{ 1\cdot w_1+w_2 = w_1+w_2\in W}\) i z dowolności wyboru tychże wektorów wnioskujemy, że spelnione jest \(\displaystyle{ (1)}\). Ustalmy teraz dodatkowo \(\displaystyle{ \alpha\in K}\). Przyjmując, że \(\displaystyle{ w_2}\) jest równe wektorowi zerowemu \(\displaystyle{ W}\) w naszym założeniu otrzymujemy: \(\displaystyle{ \forall\alpha\in K\forall w_1,w_2\in W: aw_1\in W}\), równoważnie: \(\displaystyle{ \forall \alpha\in K\forall w\in W: \alpha w\in W}\).
