Składowe tensora w nowym układzie

[eso32]

Cześć,

składowe wektora transformują się przy przejściu z jednej bazy do drugiej wg. wzoru:

\(\displaystyle{ p' ^{i} = \frac{ \partial x' ^{i} }{ \partial x ^{k} }p ^{k}}\)

Należy obliczyć wektor w układzi \(\displaystyle{ x' ^{i}}\), a jego składowe w układzie \(\displaystyle{ x ^{i}}\) są równe:

\(\displaystyle{ [p ^{i}]=\left[ 3, 2\right]}\), transformacja dana jest równaniami:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x' ^{1}=2x ^{1} +3x ^{2} \\ x' ^{2}=3x ^{1} \end{cases}}\)

przy czym indeksy górne to nie wykładniki.

Wg. mnie wystarczy wyznaczyć nowe współrzędne na podstawie równań ale wtedy ten człon \(\displaystyle{ p' ^{i} = \frac{ \partial x' ^{i} }{ \partial x ^{k} }p ^{k}}\) staje się bezużyteczny. Z tego wnioskuję, że moje rozwiązanie jest błędne lub co najmniej nie pełne . Dlatego właśnie proszę was o pomoc .

Moja propozycja:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' ^{1}=2*3 +3*2 \\ x' ^{2}=3*3 \end{cases}}\)

Nowy wektor: \(\displaystyle{ [p' ^{i}]=\left[ 12, 9\right]}\)

[Balduran]

Te kręcone pochodne w definicji to są właśnie liczbowe współczynniki przy współrzędnych. Zatem: \(\displaystyle{ \frac{ \partial x' ^{1} }{ \partial x ^{1} }=2}\), \(\displaystyle{ \frac{ \partial x' ^{1} }{ \partial x ^{2} }=3}\), \(\displaystyle{ \frac{ \partial x' ^{2} }{ \partial x ^{1} }=3}\), \(\displaystyle{ \frac{ \partial x' ^{2} }{ \partial x ^{2} }=0}\)
Czyli to co zrobiłeś to jest dokładnie to, co należało zrobić - nasuwa się pytanie, czy dobrze rozumiesz całą notację tutaj użytą? W szczególności, czy wiesz czym są pochodne cząstkowe?
Pozdrawiam

[eso32]

Pochodne cząstkowe rozumiem przez pochodną funkcji wielu zmiennych wyznaczoną po jednej konkretnej zmiennej. Czyli zadanie de facto zostało już częściowo rozwiązane w treści, ponieważ otrzymałem układ równań z wyznaczonymi współczynnikami. Dzięki Twojemu przykładowi doskonale wiem już o co chodzi.

Dzięki za pomoc!