Znajdz bazę i wymiar przestrzeni W1 i W2

[Pietrzak93]

W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\) podprzestrzenie \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\) zadane są następująco.
\(\displaystyle{ W_1}\) jest generowana przez wektory \(\displaystyle{ (1,2,1,2)}\) oraz \(\displaystyle{ (2,-1,3,-1)}\) natomiast \(\displaystyle{ W_2}\) jest zbiorem tych czwórek \(\displaystyle{ (x,y,z,t) \in \RR^4}\) który spełnia warunki:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y-z=0\\-x+z-t=0\\x+2y-z-t=0\end{cases}}\)


Znajdź bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ W_1 + W_2}\).

Jakieś wskazówki jak się do tego zabrać?

[lemoid]

Obliczyć wymiar \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\).
W \(\displaystyle{ W_2}\) można łatwo poprzekształcać :
\(\displaystyle{ \begin{cases} z=x+y\\t=y\end{cases}}\)

Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ W_2}\) jest zbiorem czwórek \(\displaystyle{ (x,y,x+y,y)}\) co można przedstawić jako \(\displaystyle{ x(1,0,1,0) + y (0,1,1,1)}\).

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ W_1 + W_2 = \{ u+v \ | \ u \in W_1, \ w \in W_2 \ \}.}\)

[Pietrzak93]

Okey, czyli teraz.

Co do \(\displaystyle{ W_1}\) to:

\(\displaystyle{ bazaW_1 = \left\{ \left[\begin{array}{c}1&2&1&2\end{array}\right] , \left[\begin{array}{c}2&-1&3&-1\end{array}\right] \right\}}\)

I \(\displaystyle{ dimW_1 = 2}\) , ponieważ baza składa się z dwóch wektorów tak?

Co do \(\displaystyle{ W_2}\) to:

\(\displaystyle{ bazaW_2 = \left\{ \left[\begin{array}{c}1&0&1&0\end{array}\right] , \left[\begin{array}{c}0&1&1&1\end{array}\right] \right\}}\)

I \(\displaystyle{ dimW_2 = 2}\) , ponieważ baza składa się rownie z dwóch wektorów tak?

[lemoid]

Tak.

[Pietrzak93]

A czy muszę sprawdzać liniową niezależność tych wektorów czy tego już robić nie muszę?

Niestety nie do końca wiem jak to rozumieć: \(\displaystyle{ W_1 + W_2 = \{ u+v \ | \ u \in W_1, \ w \in W_2 \ \}}\)

baza \(\displaystyle{ W_1 + W_2}\) będzie składała się z czterech wektorów? bazy \(\displaystyle{ W_1 i W_2}\)?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ W_1 + W_2}\) składa się z kombinacji liniowej wszystkich wektorów bazowych obu baz.
Czyli możesz np. wrzucić obie bazy w macierz i sprawdzić czy są liniowo niezależne. Jeżeli tak to te 4 wektory są bazą (suma prosta). Jeżeli nie to patrzymy który wektor lub wektory są zbędne.

[Pietrzak93]

Czyli po prostu sprawdzam liniową niezależność tych czterech wektorów i odrzucam te które nie są liniowo niezależne tak?

Tworzę macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&1&0\\1&-1&0&1\\1&3&1&1\\2&-1&0&1\end{array}\right]}\)

Przekształcam do postaci schodkowej.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&1&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)

Macierz posiada trzy schodki z czego wynika że tylko trzy wektory są liniowo niezależne, więc baza \(\displaystyle{ W_1+W_2 = \left\{ \left[\begin{array}{c}1&2&1&2\end{array}\right] , \left[\begin{array}{c}2&-1&3&-1\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}1&0&1&0\end{array}\right] , \right\}}\)

oraz dim\(\displaystyle{ W_1+W_2 = 3}\)

Dobrze to rozumiem?

[Kacperdev]

Skąd wiedziałeś, który wektor wyrzucić?

[Pietrzak93]

Wydaje mi się że wiadomo to stąd, że wektory które są niezależne to te gdzie jest "schodek" w macierzy. Czyli są trzy schodki, przy trzech pierwszych wektorach, przy czwartym go nie ma więc go odrzucamy. Dobrze, czy się mylę?

[Kacperdev]

?
Nie rozumiem. Nie mówie, że to niedobra metoda, po prostu nie widzę żadnego związku.
Najbezpieczniej wrzucić wektory wierszami i zerować tak jak ty. Wtedy ten wiersze który sie wyzeruje tzn., że ten wyzerowany wektor był zbędny.