Liniowa niezależność, parametr

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Edward W
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 15 paź 2013, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 11 razy

Liniowa niezależność, parametr

Post autor: Edward W »

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ p\in\mathbb R}\) wektory \(\displaystyle{ a=[3,p,3,p], b=[1,1,1,1], c=[p,p,-1,2]}\) są liniowo niezależne?

Wykorzystując kryterium niezależności tworzę macierz zbudowaną z danych wektorów:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&p&3&p\\1&1&1&1\\p&p&-1&2\end{array}\right]}\).

Mam macierz \(\displaystyle{ 3\times 4}\), więc jej rząd wynosi maksymalnie \(\displaystyle{ 3}\). Istnieją \(\displaystyle{ 4}\) różne minory tej macierzy. Zadanie wykonałem tak, że obliczyłem wszystkie \(\displaystyle{ 4}\) wyznaczniki i wykluczyłem możliwości, dla których wyznacznik był równy zero, by otrzymać szukane parametry.

Ale czy rzeczywiście była tutaj potrzeba obliczania wszystkich minorów? W tym przypadku [po obliczeniu wyznaczników] otrzymałem dwie pary przeciwnych wyników. Czy jest to jakaś reguła, czy moze tylko tutaj tak się przytrafiło?

Dziękuję
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Liniowa niezależność, parametr

Post autor: Kacperdev »

Nie musisz liczyć wszystkich minorów. Wystarczy, że jeden będzie niezerowy.

Jednak akurat w tym zadaniu łatwiej sprawdzać parami wektory z definicji. Łatwiej sie nie pogubić.
Edward W
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 15 paź 2013, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 11 razy

Liniowa niezależność, parametr

Post autor: Edward W »

No tak, rzeczywiście. A abstrahując od zadania, czy jest właśnie jakaś zależność pomiędzy minorami danej macierzy? Czy tylko tutaj przypadkowo wyszły mi pary przeciwnych wyników?
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Liniowa niezależność, parametr

Post autor: Kacperdev »

Minory mogą wychodzić różne, nie ma zasady.
Chociaż same minory mogą opisywać charakterystykę układu, dla nas najważniejsze jest czy są niezerowe.
ODPOWIEDZ