Udowodnij dwie nierówności (iloczyn skalarny, norma)

[Skowalew]

Treść zadań:
1. Sprawdź, że \(\displaystyle{ \|x+y\|^2 \le 2\|x\|^2+2\|y\|^2}\). Kiedy nierówność staje się równością?
2. Sprawdź, że \(\displaystyle{ \|x+y+z\|^2 \le 3\|x\|^2+3\|y\|^2+3\|z\|^2}\). A co dla większej liczby wektorów?

Rozwiązanie:
1. Z równości równoległoboku uzyskuję:
\(\displaystyle{ \|x+y\|^2 = 2\|x\|^2+2\|y\|^2 - \|x-y\|^2}\)
Uwzględniając fakt, że wartość normy jest nieujemna mogę zrobić następujące oszacowanie:
\(\displaystyle{ \|x+y\|^2 = 2\|x\|^2+2\|y\|^2 - \|x-y\|^2 \le 2\|x\|^2+2\|y\|^2}\)
Ostatecznie daje mi to:
\(\displaystyle{ \|x+y\|^2 \le 2\|x\|^2+2\|y\|^2}\)
Nierówność staje się natomiast równością, gdy \(\displaystyle{ \|x-y\|^2 = 0}\), czyli \(\displaystyle{ x-y=0}\). A więc wyrażenie staje się równością, gdy \(\displaystyle{ x=y}\).
Czy mój tok myślenia jest poprawny?

2. Z czego można skorzystać w tym przypadku? Próbowałem dokonać pewnych obliczeń, które wyglądają następująco (o ile się nigdzie nie pomyliłem):
\(\displaystyle{ \|x+y+z\|^2 + \|x-y-z\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 + 2\|z\|^2 + 4\langle y, z\rangle}\)
W tym momencie stanąłem i nie wiem, co zrobić, żeby pociągnąć dalej tę nierówność. Czy w ogóle dobrym pomysłem było zabrania się do tego od tej strony?

[pyzol]

Nierówność trójkąta:
\(\displaystyle{ ||x+y|| \le ||x||+|||y||}\)
Z tego mamy:
\(\displaystyle{ ||x+y+z|| \le ||x||+||y||+||z||}\)
Podnieśmy do kwadratu. Potem korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ 2||x||\cdot||y|| \le ||x||^2+||y||^2}\)

[Skowalew]

Teraz wszystko się zgadza i widzę, że w ten sposób przebiega uzasadnienie nierówności dla większej liczby wektorów (bądź dla mniejszej, jak w zadaniu pierwszym). Dziękuję bardzo .