Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Pietrzak93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 216
Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy

Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V?

Post autor: Pietrzak93 »

Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V, gdy:

(a) \(\displaystyle{ \left\{ \begin{bmatrix} i\\i\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\i\end{bmatrix} \right\} , V = \CC^2}\)

Czyli:

Podane wektory muszą być liniowo niezależne i to już sprawdziłęm - są liniowo niezależne.

Natomiast mam problem z:
"każdy inny wektor z tej samej przestrzeni można przedstawić jako kombinacja liniowa tych wektorów"

Jak się do tego zabrać?
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2014, o 16:57 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V?

Post autor: yorgin »

Możesz się do tego zabrać czysto z definicji, tzn wziąć wektor \(\displaystyle{ (z,w)\in\CC^2}\) i zastanowić się, czy istnieją \(\displaystyle{ a,b\in\CC}\) takie, że \(\displaystyle{ a (i,i)+b(0,i)=(z,w)}\). Jako że jest to układ równań wystarczy policzyć wyznacznik główny i sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie.
Pietrzak93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 216
Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy

Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V?

Post autor: Pietrzak93 »

Czyli jeżeli ten układ równań ma rozwiązanie to ten zbiór jest bazą tak?
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V?

Post autor: Kacperdev »

Zgadza się.
Balduran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 17 wrz 2004, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 13 razy

Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V?

Post autor: Balduran »

Tak na prawdę już nie trzeba tego robić. Zbiór E nazywamy bazą przestrzeni V jeśli
1) Wszystkie wektory w E są liniowo niezależne
2) Dodanie do E kolejnego elementu z V spowodowałoby utratę liniowej niezależności
Bardzo możliwe, że znasz inną definicję bazy, ale ta jest równoważna i bardzo użyteczna.
Wymiar to z kolei właśnie maksymalna ilość wektorów niezależnych.
Zatem jeśli w przestrzeni o wymiarze 2 znajdziesz dwa wektory liniowo niezależne, to już na pewno tworzą one bazę.
ODPOWIEDZ