Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.
-
- Użytkownik
- Posty: 216
- Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.
Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.
(a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2\\1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1\\-2\end{bmatrix} \in \RR^2}\) , gdzie \(\displaystyle{ v = \begin{bmatrix} 3\\2\end{bmatrix}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a \begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2\\1\end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} -1\\-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&-1& | 3\\2&1&-2& | 2\end{bmatrix}}\)
Pozniej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&-1& | 3\\0&-3&0& | -4\end{bmatrix}}\)
I co z tego wynika?
(a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2\\1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1\\-2\end{bmatrix} \in \RR^2}\) , gdzie \(\displaystyle{ v = \begin{bmatrix} 3\\2\end{bmatrix}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a \begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2\\1\end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} -1\\-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&-1& | 3\\2&1&-2& | 2\end{bmatrix}}\)
Pozniej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&-1& | 3\\0&-3&0& | -4\end{bmatrix}}\)
I co z tego wynika?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.
Jeżeli tak to zapisales to z tw. Kroneckera-Capellego wynika, że...?
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2014, o 16:17 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 216
- Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.
Kacperdev
Co do zadania: Rozwiąż ten układ do końca. Bo póki co tylko przekształciłeś.
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 27 sty 2014, o 19:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 1 raz
Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.
Wydaje mi się, że ta macierz, to chyba jakaś metoda rozwiązywania układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+2b-c=3 \\ 2a+b-2c=2 \end{cases}}\)
Taki układ daje nieskończenie wiele rozwiązań; ot choćby dla parametrów a = 3, b = 4/3, c = 8/3 mamy liniową kombinację tych wektorów, dających wektor [3, 2]
Zatem wektor [3, 2] jest kombinacją liniową zadanych wektorów.
Swoją drogą - w przestrzeni dwuwymiarowej wystarczą dwa dowolne liniowo niezależne i niezerowe wektory, by mogły wygenerować każdy zadany wektor z tej przestrzeni.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+2b-c=3 \\ 2a+b-2c=2 \end{cases}}\)
Taki układ daje nieskończenie wiele rozwiązań; ot choćby dla parametrów a = 3, b = 4/3, c = 8/3 mamy liniową kombinację tych wektorów, dających wektor [3, 2]
Zatem wektor [3, 2] jest kombinacją liniową zadanych wektorów.
Swoją drogą - w przestrzeni dwuwymiarowej wystarczą dwa dowolne liniowo niezależne i niezerowe wektory, by mogły wygenerować każdy zadany wektor z tej przestrzeni.
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2014, o 16:22 przez lichotka, łącznie zmieniany 1 raz.
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.
Zapisałeś ukłąd równań w postaci macierzowej więc zakładałem, że wspomniane tw. jest znane.
Rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej stąd układ ma rozwiązania zależne od
\(\displaystyle{ \hbox{ilosc niewiadomych} - \hbox{ilosc rownan}}\) u nas zależne od jednego parametru.
Tzn. że istnieje nieskonczenie wiele niezerowych rozwiązan \(\displaystyle{ a,b,c}\) a stąd wynika, że ten wektor jest kombinacja tych trzech.
leszczu450, pisałem z telefonu i troche mi się buntował, ale już poprawiłem
Rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej stąd układ ma rozwiązania zależne od
\(\displaystyle{ \hbox{ilosc niewiadomych} - \hbox{ilosc rownan}}\) u nas zależne od jednego parametru.
Tzn. że istnieje nieskonczenie wiele niezerowych rozwiązan \(\displaystyle{ a,b,c}\) a stąd wynika, że ten wektor jest kombinacja tych trzech.
leszczu450, pisałem z telefonu i troche mi się buntował, ale już poprawiłem
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2014, o 16:24 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 216
- Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&-1& | \frac{1}{3} \\0&1&0& | \frac{4}{3} \end{bmatrix}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 216
- Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.
Czyli z tego wynika że wektor v jest kombinacją liniową tych wektorów tak?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.
Tak, bo istnieja takie \(\displaystyle{ a,b,c}\), że pomnożone przez odpowidnie wektory generują nasz szukany. Jeżeli v jest wygenerowany przy pomocy danych tzn., że v jest kombinacją liniową liniową danych