Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.

[Pietrzak93]

Zbadaj czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów.

(a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2\\1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1\\-2\end{bmatrix} \in \RR^2}\) , gdzie \(\displaystyle{ v = \begin{bmatrix} 3\\2\end{bmatrix}}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ a \begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2\\1\end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} -1\\-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\2\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&-1& | 3\\2&1&-2& | 2\end{bmatrix}}\)

Pozniej:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&-1& | 3\\0&-3&0& | -4\end{bmatrix}}\)

I co z tego wynika?

[Kacperdev]

Jeżeli tak to zapisales to z tw. Kroneckera-Capellego wynika, że...?

[Pietrzak93]

Tzn.?

[leszczu450]

Kacperdev

Ukryta treść:    

kim według Ciebie jest cap? : ) Trochę szacunku do matematyków łobuzie

Co do zadania: Rozwiąż ten układ do końca. Bo póki co tylko przekształciłeś.

[lichotka]

Wydaje mi się, że ta macierz, to chyba jakaś metoda rozwiązywania układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+2b-c=3 \\ 2a+b-2c=2 \end{cases}}\)


Taki układ daje nieskończenie wiele rozwiązań; ot choćby dla parametrów a = 3, b = 4/3, c = 8/3 mamy liniową kombinację tych wektorów, dających wektor [3, 2]

Zatem wektor [3, 2] jest kombinacją liniową zadanych wektorów.

Swoją drogą - w przestrzeni dwuwymiarowej wystarczą dwa dowolne liniowo niezależne i niezerowe wektory, by mogły wygenerować każdy zadany wektor z tej przestrzeni.

[Kacperdev]

Zapisałeś ukłąd równań w postaci macierzowej więc zakładałem, że wspomniane tw. jest znane.

Rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej stąd układ ma rozwiązania zależne od
\(\displaystyle{ \hbox{ilosc niewiadomych} - \hbox{ilosc rownan}}\) u nas zależne od jednego parametru.

Tzn. że istnieje nieskonczenie wiele niezerowych rozwiązan \(\displaystyle{ a,b,c}\) a stąd wynika, że ten wektor jest kombinacja tych trzech.

leszczu450, pisałem z telefonu i troche mi się buntował, ale już poprawiłem

[Pietrzak93]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&-1& | \frac{1}{3} \\0&1&0& | \frac{4}{3} \end{bmatrix}}\)

[Kacperdev]

czyli:

ustal, że np. \(\displaystyle{ c \hbox{ - parametr}}\)

[Pietrzak93]

Czyli z tego wynika że wektor v jest kombinacją liniową tych wektorów tak?

[Kacperdev]

Tak, bo istnieja takie \(\displaystyle{ a,b,c}\), że pomnożone przez odpowidnie wektory generują nasz szukany. Jeżeli v jest wygenerowany przy pomocy danych tzn., że v jest kombinacją liniową liniową danych