Mam takie pytanie związane z metodą eliminacji C.F. Gaussa i operacjami na kolumnach.
1. Ja w internecie znalazłem takie informacje:
2. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to jest z tymi operacjami na kolumnach.A >> "(...) Nasze możliwości przy rozwiązywaniu układu były ograniczone bo wykonywaliśmy operacje tylko na wierszach. Ponieważ w macierzy na kolumnach można wykonywać te same przekształcenia co na wierszach , to przyszłości rozwiązywanie układu sześciu równań o czterech, sześciu czy ośmiu niewiadomych, za pomocą macierzy to będzie pestka."
B >> "Czy operacjami elementarnymi można działać tylko na wierszach, czy można również na kolumnach w eliminacji Gaussa?
Tylko na wierszach, ponieważ kolumny odpowiadają za zmienne, więc działanie na kolumnach byłoby działaniem na zmiennych, a tego byśmy nie chcieli."
C >> "W przypadku rozwiązywania układów równań metodą macierzową możemy działać wyłącznie na wierszach - działanie na kolumnach oznaczałoby bowiem wprowadzenie nowych zmiennych (czego nigdy nie chcemy robić)."
D >> "Niektórzy profesorzy żeby nie motać studentom (kolumny przestawiać można tylko z zastrzeżeniami – o nie ruszaniu kolumny wyrazów wolnych i o zmianie oznaczeń nad kolumną) nie wprowadzają w ogóle zamiany miejscami kolumn. Inni w ogóle nie nauczają o oznaczeniach nad kolumną – wtedy w naturalny sposób zamieniać kolumny NIE MOŻNA."
3. Dlaczego "działanie na kolumnach oznaczałoby bowiem wprowadzenie nowych zmiennych ?
4. I skoro jak wynika z pierwszego cytatu ("w macierzy na kolumnach można wykonywać te same przekształcenia co na wierszach "), to czy mógłbym prosić o jakiś przykład odnośnie tych operacji na kolumnach przy rozwiązywaniu układów równań?
5. Niektórzy profesorzy żeby nie motać studentom (kolumny przestawiać można tylko z zastrzeżeniami – o nie ruszaniu kolumny wyrazów wolnych i o zmianie oznaczeń nad kolumną) nie wprowadzają w ogóle zamiany miejscami kolumn.
Inni w ogóle nie nauczają o oznaczeniach nad kolumną – wtedy w naturalny sposób zamieniać kolumny NIE MOŻNA.
Weźmy taki przykład:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
4x+2y+3z+5t=4 \\
2x+2y+5z+8t=5 \\
3x+5y+4z+7t=6 \\
2x+2y+2z+9t=1
\end{cases}}\)
To gdy tutaj zamienię kolejnością kolumnę \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) , to otrzymam:
\(\displaystyle{ \begin{cases}2y+4x+3z+5t=4 \\
2y+2x+5z+8t=5 \\
5y+3x+4z+7t=6 \\
2y+2x+2z+9t=1 \end{cases}}\)
I oba te układy są równoważne.
Co możemy zapisać za pomocą macierzy \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}x&y&z&t& \\ 4&2&3&5&|4\\ 2&2&5&8&|5\\ 3&5&4&7&|6\\ 2&2&2&9&|1 \end{array} \right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc} y&x&z&t&\\2&4&3&5&|4\\2&2&5&8&|5\\5&3&4&7&|3\\2&2&2&9&|1\end{array}\right]}\) .
I tutaj już widać, że kolumny ze zmiennymi między sobą można zamieniać miejscami, ponieważ dodawanie jest przemienne.
A ja mam takie pytanie odnośnie tego nieruszania kolumny wyrazów wolnych. Bo jak przyjrzymy się to zauważymy z pewnością, że gdybyśmy chcieli zamienić kolumnę wyrazów wolnych z jedną z kolumn jednej ze zmiennych to te kolumny musiały by zmienić znaki w zamienianych kolumnach, ponieważ dokonalibyśmy przeniesienia między stronami równania. Tak?
Mamy taki układ równań i zamieniamy wyrazy wolne ze zmiennymi t:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
4x+2y+3z+5t=4 \\
2x+2y+5z+8t=5 \\
3x+5y+4z+7t=6 \\
2x+2y+2z+9t=1\end{cases}}\)
i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
4x+2y+3z-4=-5t \\
2x+2y+5z-5=-8t \\
3x+5y+4z-6=-7t \\
2x+2y+2z-1=-9t\end{cases}}\)
A w postaci macierzy mamy \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}x&y&z&t& \\ 4&2&3&5&|4\\ 2&2&5&8&|5\\ 3&5&4&7&|6\\ 2&2&2&9&|1 \end{array} \right]}\) i \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}x&y&z&&t \\ 4&2&3&-4&|-5\\ 2&2&5&-5&|-8\\ 3&5&4&-6&|-7\\ 2&2&2&-1&|-9 \end{array} \right]}\) .
Czy to jest prawidłowe rozumowanie?
