Kombinacja liniowa- prawidłowo ?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
komandos333
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 5 lis 2013, o 19:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Kombinacja liniowa- prawidłowo ?

Post autor: komandos333 »

Moim zadaniem było sprawdzić czy wektory \(\displaystyle{ v _{1} =\left[ 1, 0, -1\right], v _{2} =\left[ 1,2,1\right], v _{3} = \left[ 0,-3,1\right ]}\) są liniowo zależne, i wyrazić wektor \(\displaystyle{ v=\left[ 1,0,1\right]}\) jako kombinację liniową tych wektorów.

no to zależność liniowa sprawdziłam:
\(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot v _{1} + \alpha _{2} \cdot v _{2} + \alpha _ {3} \cdot v _{3}= \left[ 0,0,0\right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha _{1}+\alpha _{2}=0 \\
2\alpha _{2}-3\alpha _{3}=0\\
-\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha _{1}=0 \\ \alpha _{2}=0\\\alpha _{3}=0 \end{cases}}\)

A tą kombinację liniową zrobiłam w taki sposób:
\(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot v _{1} + \alpha _{2} \cdot v _{2} + \alpha _ {3} \cdot v _{3}= \left[ 1,0,1\right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha _{1}+\alpha _{2}=1 \\
2\alpha _{2}-3\alpha _{3}=0\\
-\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha _{1}= \frac{1}{4} \\ \alpha _{2}= \frac{3}{4} \\\alpha _{3}= \frac{1}{2} \end{cases}}\)
Czyli kombinacja tego wektora to:\(\displaystyle{ \left[\frac{1}{4}, \frac{3}{4},\frac{1}{2} \right]}\)
Dobre rozumowanie ?
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Kombinacja liniowa- prawidłowo ?

Post autor: leszczu450 »

komandos333, żeby sprawdzić czy dane wektory są liniowo zależne/niezależne musisz zbudować z nich wyznacznik \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) i sprawdzić jego znak. Jesli wyznacznik się zeruje, to wektory są liniowo zależne. Jeśli mamy cokolwiek innego niż zero, to jest ok- mamy niezależność. Takie rozumowanie stosuje się najczęściej.

Co do drugiej cześci zadania. Dobrze wyliczyłaś. Ale głupotę napisałaś. To co Ci wyszło oznasza, że wektor:

\(\displaystyle{ v=\left[ 1,0,1\right]= \frac{1}{4}v_1 + \frac{3}{4}v_2 + \frac{1}{2}v_3}\).
komandos333
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 5 lis 2013, o 19:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Kombinacja liniowa- prawidłowo ?

Post autor: komandos333 »

Dobrze, to już wszystko rozumiem, dziękuje bardzo
ODPOWIEDZ