Forma dwuliniowa

[Poszukujaca]

Jak zrozumieć czym jest ,,forma liniowa"? Na przykład dwuliniowa?

Proszę o jakiś przykład, i takie bardzo obrazowe wyjaśnienie. Czy można to jakoś skojarzyć z rzeczywistością?

[AiDi]

Nie bardzo rozumiem, co tu właściwie nie rozumieć. Odwzorowanie przyporządkowujące dwóm wektorom element ciała nad który określona jest przestrzeń wektorowa, liniowe ze względu na każdy argument. Czego tu nie rozumiesz?
A przykład - jeden z najważniejszych - iloczyn skalarny.

[Poszukujaca]

Czy można więc powiedzieć, że forma liniowa dowolnego wymiaru to po prostu odwzorowanie przestrzeni liniowej na skalar?

\(\displaystyle{ f: V \rightarrow K}\)

Czy element ciała musi być skalarem?

[Winged]

W kwestiach terminologicznych odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: V \to K}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) nazywamy funkcjonałem liniowym.
Z kolei funkcjonałem dwuliniowym nazywamy odwzorowanie \(\displaystyle{ f: V \times V \to K}\) liniowe ze względu na każdy argument z osobna, czyli \(\displaystyle{ f(\alpha x + \beta y, z) = \alpha f(x,z) + \beta f(y,z)}\) i \(\displaystyle{ f(x, \alpha y + \beta z) = \alpha f(x,y) + \beta f(x,z)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z \in V}\) i \(\displaystyle{ \alpha,\beta \in K}\).
Często słów funkcjonał i forma używa się zamiennie, ale jednak nie zawsze.
Pod założeniem aksjomatu wyboru(w postaci lematu Kuratowskiego Zorna) każda przestrzeń liniowa ma bazę, więc każdy wektor \(\displaystyle{ x}\) można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ x=\sum\limits_{i=1}^{n} x_i e_{\alpha_i}}\),
gdzie \(\displaystyle{ e_{\alpha_i}}\) są wektorami bazowymi.
Wówczas formą liniową zdarza się nazywać wzór:
\(\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f(e_{\alpha_i}) = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_{\alpha_i}}\)
Analogicznie dwuliniową(\(\displaystyle{ y=\sum\limits_{i=1}^{m} y_i e_{\beta_i}}\)) wzór:
\(\displaystyle{ f(x,y) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} x_i y_j f(e_{\alpha_i},e_{\beta_j}) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} x_i y_j f_{\alpha_i \beta_j}}\)

[AiDi]

Wówczas formą liniową zdarza się nazywać wzór:

To teraz powiedz, czym to się różni od tego co nazwałeś funkcjonałem

Czy można więc powiedzieć, że forma liniowa dowolnego wymiaru to po prostu odwzorowanie przestrzeni liniowej na skalar?

\(\displaystyle{ f: V \rightarrow K}\)

Czy element ciała musi być skalarem?

Element ciała z definicji nazywany jest skalarem, więc pytanie trochę bez sensu. I rozumiesz przez "forma liniowa dowolnego wymiaru"?

[Winged]

Wówczas formą liniową zdarza się nazywać wzór:

To teraz powiedz, czym to się różni od tego co nazwałeś funkcjonałem

W tym sensie, że wtedy przez formę rozumiemy wzór, jako napis(to tak, jak niektórzy rozróżniają wielomian od funkcji wielomianowej). Taka konwencja jest np. w podręczniku Gleichgewichta. W zbiorze zadań Rutkowskiego z kolei forma funkcjonału w pewnej ustalonej bazie, to funkcja składowych wektora w tej bazie.