Jak zrozumieć czym jest ,,forma liniowa"? Na przykład dwuliniowa?
Proszę o jakiś przykład, i takie bardzo obrazowe wyjaśnienie. Czy można to jakoś skojarzyć z rzeczywistością?
Forma dwuliniowa
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Forma dwuliniowa
Nie bardzo rozumiem, co tu właściwie nie rozumieć. Odwzorowanie przyporządkowujące dwóm wektorom element ciała nad który określona jest przestrzeń wektorowa, liniowe ze względu na każdy argument. Czego tu nie rozumiesz?
A przykład - jeden z najważniejszych - iloczyn skalarny.
A przykład - jeden z najważniejszych - iloczyn skalarny.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Forma dwuliniowa
Czy można więc powiedzieć, że forma liniowa dowolnego wymiaru to po prostu odwzorowanie przestrzeni liniowej na skalar?
\(\displaystyle{ f: V \rightarrow K}\)
Czy element ciała musi być skalarem?
\(\displaystyle{ f: V \rightarrow K}\)
Czy element ciała musi być skalarem?
Forma dwuliniowa
W kwestiach terminologicznych odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: V \to K}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) nazywamy funkcjonałem liniowym.
Z kolei funkcjonałem dwuliniowym nazywamy odwzorowanie \(\displaystyle{ f: V \times V \to K}\) liniowe ze względu na każdy argument z osobna, czyli \(\displaystyle{ f(\alpha x + \beta y, z) = \alpha f(x,z) + \beta f(y,z)}\) i \(\displaystyle{ f(x, \alpha y + \beta z) = \alpha f(x,y) + \beta f(x,z)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z \in V}\) i \(\displaystyle{ \alpha,\beta \in K}\).
Często słów funkcjonał i forma używa się zamiennie, ale jednak nie zawsze.
Pod założeniem aksjomatu wyboru(w postaci lematu Kuratowskiego Zorna) każda przestrzeń liniowa ma bazę, więc każdy wektor \(\displaystyle{ x}\) można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ x=\sum\limits_{i=1}^{n} x_i e_{\alpha_i}}\),
gdzie \(\displaystyle{ e_{\alpha_i}}\) są wektorami bazowymi.
Wówczas formą liniową zdarza się nazywać wzór:
\(\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f(e_{\alpha_i}) = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_{\alpha_i}}\)
Analogicznie dwuliniową(\(\displaystyle{ y=\sum\limits_{i=1}^{m} y_i e_{\beta_i}}\)) wzór:
\(\displaystyle{ f(x,y) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} x_i y_j f(e_{\alpha_i},e_{\beta_j}) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} x_i y_j f_{\alpha_i \beta_j}}\)
Z kolei funkcjonałem dwuliniowym nazywamy odwzorowanie \(\displaystyle{ f: V \times V \to K}\) liniowe ze względu na każdy argument z osobna, czyli \(\displaystyle{ f(\alpha x + \beta y, z) = \alpha f(x,z) + \beta f(y,z)}\) i \(\displaystyle{ f(x, \alpha y + \beta z) = \alpha f(x,y) + \beta f(x,z)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z \in V}\) i \(\displaystyle{ \alpha,\beta \in K}\).
Często słów funkcjonał i forma używa się zamiennie, ale jednak nie zawsze.
Pod założeniem aksjomatu wyboru(w postaci lematu Kuratowskiego Zorna) każda przestrzeń liniowa ma bazę, więc każdy wektor \(\displaystyle{ x}\) można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ x=\sum\limits_{i=1}^{n} x_i e_{\alpha_i}}\),
gdzie \(\displaystyle{ e_{\alpha_i}}\) są wektorami bazowymi.
Wówczas formą liniową zdarza się nazywać wzór:
\(\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f(e_{\alpha_i}) = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_{\alpha_i}}\)
Analogicznie dwuliniową(\(\displaystyle{ y=\sum\limits_{i=1}^{m} y_i e_{\beta_i}}\)) wzór:
\(\displaystyle{ f(x,y) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} x_i y_j f(e_{\alpha_i},e_{\beta_j}) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} x_i y_j f_{\alpha_i \beta_j}}\)
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Forma dwuliniowa
To teraz powiedz, czym to się różni od tego co nazwałeś funkcjonałemWinged pisze: Wówczas formą liniową zdarza się nazywać wzór:
Element ciała z definicji nazywany jest skalarem, więc pytanie trochę bez sensu. I rozumiesz przez "forma liniowa dowolnego wymiaru"?Poszukujaca pisze:Czy można więc powiedzieć, że forma liniowa dowolnego wymiaru to po prostu odwzorowanie przestrzeni liniowej na skalar?
\(\displaystyle{ f: V \rightarrow K}\)
Czy element ciała musi być skalarem?
Forma dwuliniowa
W tym sensie, że wtedy przez formę rozumiemy wzór, jako napis(to tak, jak niektórzy rozróżniają wielomian od funkcji wielomianowej). Taka konwencja jest np. w podręczniku Gleichgewichta. W zbiorze zadań Rutkowskiego z kolei forma funkcjonału w pewnej ustalonej bazie, to funkcja składowych wektora w tej bazie.AiDi pisze:To teraz powiedz, czym to się różni od tego co nazwałeś funkcjonałemWinged pisze: Wówczas formą liniową zdarza się nazywać wzór: