Kryterium Sylvestera mówi, że macierz jest dodatnio określona gdy jest symetryczna i wszystkie wiodące minory główne są dodatnie.
1) Czy macierz jest nieujemnie określona gdy jest symetryczna i jej wiodące minory główne są nieujemne?
2) Czy kryterium to działa też dla macierzy nad ciałem liczb zespolonych oczywiście zamieniając symetrie na to że macierz jest hermitowska?
Kryterium Sylvestera: nieujemnie określona i zespolona
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 27 gru 2013, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Kryterium Sylvestera: nieujemnie określona i zespolona
1) Nie. Kontrprzykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]}\)
2) W liczbach zespolonych nie ma relacji nierówności, więc jak zdefiniowana jest dodatnia określoność macierzy oraz dodatniość wyznacznika?
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]}\)
2) W liczbach zespolonych nie ma relacji nierówności, więc jak zdefiniowana jest dodatnia określoność macierzy oraz dodatniość wyznacznika?
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 17 wrz 2004, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 13 razy
Kryterium Sylvestera: nieujemnie określona i zespolona
Hermitowskość formy biliniowej zdefiniowana jest przez równanie
\(\displaystyle{ \overline{g(y,x)}=g(x,y)}\) dla każdych dwóch wektorów \(\displaystyle{ x,y}\)
Stąd w szczególności \(\displaystyle{ \overline{g(x,x)}=g(x,x)}\)
Czyli \(\displaystyle{ g(x,x)}\) jest liczbą rzeczywistą, więc dodatnią określoność definiujemy dokładnie tak samo jak dla liczb rzeczywistych.
Można też podać równoważną definicję, wedle której macierz jest jest dodatnio określona jeśli wszystkie jej wartości własne są dodatnie. Rozumowanie podobne do powyższego prowadzi jednak do wniosku, że macierz hermitowska ma zawsze rzeczywiste wartości własne.
Dla dowolnych form półtora- czy bi- liniowych na zespolonych przestrzeniach wektorowych pojęcie określoności oczywiście nie ma sensu, zgodnie z faktem który przytoczył matmatmm.
\(\displaystyle{ \overline{g(y,x)}=g(x,y)}\) dla każdych dwóch wektorów \(\displaystyle{ x,y}\)
Stąd w szczególności \(\displaystyle{ \overline{g(x,x)}=g(x,x)}\)
Czyli \(\displaystyle{ g(x,x)}\) jest liczbą rzeczywistą, więc dodatnią określoność definiujemy dokładnie tak samo jak dla liczb rzeczywistych.
Można też podać równoważną definicję, wedle której macierz jest jest dodatnio określona jeśli wszystkie jej wartości własne są dodatnie. Rozumowanie podobne do powyższego prowadzi jednak do wniosku, że macierz hermitowska ma zawsze rzeczywiste wartości własne.
Dla dowolnych form półtora- czy bi- liniowych na zespolonych przestrzeniach wektorowych pojęcie określoności oczywiście nie ma sensu, zgodnie z faktem który przytoczył matmatmm.