Kryterium Sylvestera: nieujemnie określona i zespolona

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Maciej Stankiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 27 gru 2013, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Kryterium Sylvestera: nieujemnie określona i zespolona

Post autor: Maciej Stankiewicz »

Kryterium Sylvestera mówi, że macierz jest dodatnio określona gdy jest symetryczna i wszystkie wiodące minory główne są dodatnie.
1) Czy macierz jest nieujemnie określona gdy jest symetryczna i jej wiodące minory główne są nieujemne?
2) Czy kryterium to działa też dla macierzy nad ciałem liczb zespolonych oczywiście zamieniając symetrie na to że macierz jest hermitowska?
Balduran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 17 wrz 2004, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 13 razy

Kryterium Sylvestera: nieujemnie określona i zespolona

Post autor: Balduran »

Witaj!
Nie znam niestety odpowiedzi na pytanie numer 1), ale co do 2: kryterium Sylwestra działa.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Kryterium Sylvestera: nieujemnie określona i zespolona

Post autor: matmatmm »

1) Nie. Kontrprzykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]}\)
2) W liczbach zespolonych nie ma relacji nierówności, więc jak zdefiniowana jest dodatnia określoność macierzy oraz dodatniość wyznacznika?
Balduran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 17 wrz 2004, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 13 razy

Kryterium Sylvestera: nieujemnie określona i zespolona

Post autor: Balduran »

Hermitowskość formy biliniowej zdefiniowana jest przez równanie
\(\displaystyle{ \overline{g(y,x)}=g(x,y)}\) dla każdych dwóch wektorów \(\displaystyle{ x,y}\)
Stąd w szczególności \(\displaystyle{ \overline{g(x,x)}=g(x,x)}\)
Czyli \(\displaystyle{ g(x,x)}\) jest liczbą rzeczywistą, więc dodatnią określoność definiujemy dokładnie tak samo jak dla liczb rzeczywistych.
Można też podać równoważną definicję, wedle której macierz jest jest dodatnio określona jeśli wszystkie jej wartości własne są dodatnie. Rozumowanie podobne do powyższego prowadzi jednak do wniosku, że macierz hermitowska ma zawsze rzeczywiste wartości własne.
Dla dowolnych form półtora- czy bi- liniowych na zespolonych przestrzeniach wektorowych pojęcie określoności oczywiście nie ma sensu, zgodnie z faktem który przytoczył matmatmm.
ODPOWIEDZ