Ile podprzestrzeni \(\displaystyle{ k}\)-wymiarowych posiada \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem ciałem \(\displaystyle{ F_p}\)?
Nie mam pojęcia, jak mogłabym się za to zabrać. Udało mi się już policzyć, ile jest takich podprzestrzeni dla \(\displaystyle{ k=1}\) oraz na ile sposobów można zapisać dowolną podprzestrzeń dwuwymiarową jako sumę prostą dwóch podprzestrzeni jednowymiarowych. Niestety, drogi do ogólnego rozwiązania nie widzę.
Grasmaniany - zliczanie
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Grasmaniany - zliczanie
Dla \(\displaystyle{ k=0}\) mamy dokładnie jedną taką podprzestrzeń. W przypadku \(\displaystyle{ k>0}\), ta liczba wynosi
\(\displaystyle{ \dfrac{(p^n-1)(p^n-p)\cdots(p^n-p^{k-1})}{(p^k-1)(p^k-p)\cdots(p^k-p^{k-1})}.}\)
Dowód. \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowa podprzestrzeń liniowa nad ciałem \(\displaystyle{ p}\) elementowym ma \(\displaystyle{ p^n}\) elementów. Policzmy najpierw na ile sposobów można wybrać \(\displaystyle{ k}\) liniowo niezależnych wektorów. Nie wybieramy nigdy zera, więc pierwszy wektor spośród tych \(\displaystyle{ k}\) wektorów możemy wybrać na \(\displaystyle{ p^n-1}\) sposobów. Następny wektor musimy wybrać spoza prostej generowanej przez wybrany uprzednio wektor - możemy tego dokonać na \(\displaystyle{ p^n-p}\) bo jednowymiarowa podprzestrzeń w \(\displaystyle{ F_p^n}\) ma \(\displaystyle{ p}\) elementów. Dochodzimy do wniosku, że \(\displaystyle{ k}\)-ty wektor możemy dobrać tylko na
\(\displaystyle{ p^n - \underbrace{p\cdot p \cdot \ldots p}_k = p^n - p^k}\)
sposobów. Czyli \(\displaystyle{ k}\) liniowo niezależnych wektorów można wybrać na
\(\displaystyle{ (p^n-1)(p^n-p)\cdots(p^n-p^{k-1})}\)
sposobów.
Niestety różne liniowo niezależne wektory mogą generować te same podprzestrzenie. Gdyby przyjąć powyżej \(\displaystyle{ n=k}\), to dostalibyśmy odpowiedź na pytanie na ile sposobów można wybrać bazę \(\displaystyle{ F_p^k}\), tj.;
\(\displaystyle{ (p^k-1)(p^k-p)\cdots(p^k-p^{k-1}).}\)
Ostatecznie, w przestrzeni \(\displaystyle{ F_p^k}\) mamy dokładnie
\(\displaystyle{ \dfrac{(p^n-1)(p^n-p)\cdots(p^n-p^{k-1})}{(p^k-1)(p^k-p)\cdots(p^k-p^{k-1})}}\)
\(\displaystyle{ k}\)-wymiarowych podprzestrzeni. \(\displaystyle{ \square}\)
Otrzymana powyżej liczba ma swoją nazwę - to .
\(\displaystyle{ \dfrac{(p^n-1)(p^n-p)\cdots(p^n-p^{k-1})}{(p^k-1)(p^k-p)\cdots(p^k-p^{k-1})}.}\)
Dowód. \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowa podprzestrzeń liniowa nad ciałem \(\displaystyle{ p}\) elementowym ma \(\displaystyle{ p^n}\) elementów. Policzmy najpierw na ile sposobów można wybrać \(\displaystyle{ k}\) liniowo niezależnych wektorów. Nie wybieramy nigdy zera, więc pierwszy wektor spośród tych \(\displaystyle{ k}\) wektorów możemy wybrać na \(\displaystyle{ p^n-1}\) sposobów. Następny wektor musimy wybrać spoza prostej generowanej przez wybrany uprzednio wektor - możemy tego dokonać na \(\displaystyle{ p^n-p}\) bo jednowymiarowa podprzestrzeń w \(\displaystyle{ F_p^n}\) ma \(\displaystyle{ p}\) elementów. Dochodzimy do wniosku, że \(\displaystyle{ k}\)-ty wektor możemy dobrać tylko na
\(\displaystyle{ p^n - \underbrace{p\cdot p \cdot \ldots p}_k = p^n - p^k}\)
sposobów. Czyli \(\displaystyle{ k}\) liniowo niezależnych wektorów można wybrać na
\(\displaystyle{ (p^n-1)(p^n-p)\cdots(p^n-p^{k-1})}\)
sposobów.
Niestety różne liniowo niezależne wektory mogą generować te same podprzestrzenie. Gdyby przyjąć powyżej \(\displaystyle{ n=k}\), to dostalibyśmy odpowiedź na pytanie na ile sposobów można wybrać bazę \(\displaystyle{ F_p^k}\), tj.;
\(\displaystyle{ (p^k-1)(p^k-p)\cdots(p^k-p^{k-1}).}\)
Ostatecznie, w przestrzeni \(\displaystyle{ F_p^k}\) mamy dokładnie
\(\displaystyle{ \dfrac{(p^n-1)(p^n-p)\cdots(p^n-p^{k-1})}{(p^k-1)(p^k-p)\cdots(p^k-p^{k-1})}}\)
\(\displaystyle{ k}\)-wymiarowych podprzestrzeni. \(\displaystyle{ \square}\)
Otrzymana powyżej liczba ma swoją nazwę - to .