Wielomian charakterystyczny teoria

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: Matiks21 »

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ K}\) i niech \(\displaystyle{ w(a)}\) bedzie wielomianem charakterystycznym endomorfizmu \(\displaystyle{ \alpha}\) z \(\displaystyle{ V}\) w siebie. Wykazać że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ c \in K}\) Zachodzi \(\displaystyle{ w(a)= (c-a)^{k}*g(a)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(c) \neq 0}\) to wymiar podprzestrzeni wartości własnej c jest nie większy od k
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: norwimaj »

Załóżmy, że wymiar tej przestrzeni jest większy niż \(\displaystyle{ k}\). Rozważmy macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \alpha}\) w bazie...
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: Matiks21 »

Nie rozumiem
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: norwimaj »

Podaję wskazówki do dowodu:
1. dowodzić nie wprost,
2. rozważyć macierz przekształcenia w pewnej specjalnie wybranej bazie.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: Matiks21 »

w jakiej bazie? nie wiem o jaką chodzi
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: norwimaj »

No to kombinuj. Nie ma tu zbyt dużego wyboru, jeśli chodzi o bazy, więc szybko trafisz na tę właściwą.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: Matiks21 »

nie wiem w jakiej bazie bo nie wiem ile jest wektorów własnych w całym endomorfizmie. W sytuacji gdybym załozył że jest k+1 wymiarowa, czyli jest k+1 wektorow własnych odpowiadających tej wartosci własnej to i tak nie jestem w stanie zbudować bazy bo nie znam n-k-1 pozostałych wektorow.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: norwimaj »

Ale wiesz, że liniowo niezależny układ wektorów da się uzupełnić do bazy. Może wybór pozostałych \(\displaystyle{ n-k-1}\) wektorów nie jest istotny.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: Matiks21 »

Nie mam pojęcia. Ale zdaje mi się że dwa wnioski z tego twierdzenia wyprowadziłem. Warunkiem koniecznym by dany endomorfizm był diagonalizowalny jest to by wielomian charakterystyczny danego endomorfizmu rozkładał się na czynniki stopnia pierwszego oraz by krotność pierwiastka odpowiadała wymiarowi podprzestrzeni własnej tego pierwiastka.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: norwimaj »

Weź \(\displaystyle{ k+1}\) liniowo niezależnych wektorów własnych, następnie dobierz jeszcze \(\displaystyle{ n-k-1}\) tak, żeby otrzymać bazę. Jak wygląda macierz przekształcenia w tej bazie?
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: Matiks21 »

mam na przekątnej k+1 wartości własnych i na n-k-1 kolumnach nie wiem co jest
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: norwimaj »

Jeśli \(\displaystyle{ k+1}\) pierwszych wierszy oddzielisz kreską od kolejnych, i tak samo zrobisz z kolumnami, to podzielisz macierz na \(\displaystyle{ 4}\) części. W lewej dolnej części są same zera. Wobec tego wyznacznik macierzy jest równy iloczynowi wyznacznika lewej górnej oraz prawej dolnej podmacierzy. Jak zatem wygląda wielomian charakterystyczny?
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Wielomian charakterystyczny teoria

Post autor: Matiks21 »

świetnie dzięki wielkie za czas
ODPOWIEDZ