Wielomian charakterystyczny teoria
-
- Użytkownik
- Posty: 562
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 98 razy
Wielomian charakterystyczny teoria
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ K}\) i niech \(\displaystyle{ w(a)}\) bedzie wielomianem charakterystycznym endomorfizmu \(\displaystyle{ \alpha}\) z \(\displaystyle{ V}\) w siebie. Wykazać że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ c \in K}\) Zachodzi \(\displaystyle{ w(a)= (c-a)^{k}*g(a)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(c) \neq 0}\) to wymiar podprzestrzeni wartości własnej c jest nie większy od k
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wielomian charakterystyczny teoria
Załóżmy, że wymiar tej przestrzeni jest większy niż \(\displaystyle{ k}\). Rozważmy macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \alpha}\) w bazie...
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wielomian charakterystyczny teoria
Podaję wskazówki do dowodu:
1. dowodzić nie wprost,
2. rozważyć macierz przekształcenia w pewnej specjalnie wybranej bazie.
1. dowodzić nie wprost,
2. rozważyć macierz przekształcenia w pewnej specjalnie wybranej bazie.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wielomian charakterystyczny teoria
No to kombinuj. Nie ma tu zbyt dużego wyboru, jeśli chodzi o bazy, więc szybko trafisz na tę właściwą.
-
- Użytkownik
- Posty: 562
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 98 razy
Wielomian charakterystyczny teoria
nie wiem w jakiej bazie bo nie wiem ile jest wektorów własnych w całym endomorfizmie. W sytuacji gdybym załozył że jest k+1 wymiarowa, czyli jest k+1 wektorow własnych odpowiadających tej wartosci własnej to i tak nie jestem w stanie zbudować bazy bo nie znam n-k-1 pozostałych wektorow.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wielomian charakterystyczny teoria
Ale wiesz, że liniowo niezależny układ wektorów da się uzupełnić do bazy. Może wybór pozostałych \(\displaystyle{ n-k-1}\) wektorów nie jest istotny.
-
- Użytkownik
- Posty: 562
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 98 razy
Wielomian charakterystyczny teoria
Nie mam pojęcia. Ale zdaje mi się że dwa wnioski z tego twierdzenia wyprowadziłem. Warunkiem koniecznym by dany endomorfizm był diagonalizowalny jest to by wielomian charakterystyczny danego endomorfizmu rozkładał się na czynniki stopnia pierwszego oraz by krotność pierwiastka odpowiadała wymiarowi podprzestrzeni własnej tego pierwiastka.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wielomian charakterystyczny teoria
Weź \(\displaystyle{ k+1}\) liniowo niezależnych wektorów własnych, następnie dobierz jeszcze \(\displaystyle{ n-k-1}\) tak, żeby otrzymać bazę. Jak wygląda macierz przekształcenia w tej bazie?
-
- Użytkownik
- Posty: 562
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 98 razy
Wielomian charakterystyczny teoria
mam na przekątnej k+1 wartości własnych i na n-k-1 kolumnach nie wiem co jest
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wielomian charakterystyczny teoria
Jeśli \(\displaystyle{ k+1}\) pierwszych wierszy oddzielisz kreską od kolejnych, i tak samo zrobisz z kolumnami, to podzielisz macierz na \(\displaystyle{ 4}\) części. W lewej dolnej części są same zera. Wobec tego wyznacznik macierzy jest równy iloczynowi wyznacznika lewej górnej oraz prawej dolnej podmacierzy. Jak zatem wygląda wielomian charakterystyczny?