Przekształcenia afiniczne

[Marynarz94]

Może komuś pójdzie z tym zadaniem lepiej niż mi:

W przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ \RR ^{2}}\) dana jest prosta \(\displaystyle{ L}\) opisana równaniem \(\displaystyle{ a x_{1}+b x_{2}+c=0}\) oraz dany jest izomorfizm afiniczny \(\displaystyle{ f: \RR ^{2} \rightarrow \RR ^{2}}\) określony wzorem \(\displaystyle{ f( x_{1}, x_{2})=( a_{11} x_{1}+ a_{12} x _{2} + b_{1}, a_{21} x_{1} + a_22{} x_{2} + b_{2})}\). Wykazać, że obrazem prostej \(\displaystyle{ L}\) w izomorfizmie \(\displaystyle{ f}\) jest prosta o równaniu:

\(\displaystyle{ \det $$\left[\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & b_{1}- x_{1} \\
a_{21} & a_{22} & b_{2} - x_{2} \\
a&b&c
\end{array}\right]$$=0}\)

[a4karo]

Pomnóżw wyznaczniku pierwszą kolunmę przez \(\displaystyle{ x_1}\), drugą przez \(\displaystyle{ x_2}\) i dodaj do trzeciej. Co widzisz?

[Marynarz94]

Wtedy w trzeciej kolumnie w dwóch pierwszych wierszach będę miał wyrazy, które są podobne do wzoru tego przekształcenia, a w ostatnim - równanie prostej. Jak mogę to wykorzystać?

[a4karo]

Spróbuj rozwinąć ten wyznacznik i zobacz, co dostaniesz.