Związek między macierzami a wielomianami charakterystycznymi

[Matiks21]

Wykazać że dla kazdego wielomianu postaci \(\displaystyle{ w(a)= (-1)^{n} a^{n}+ a_{n-1}a^{n-1}+a_{n-2}a^{n-2}+...+a_{1}a^{1}+a _{0}}\) o współczynnikach w ciele K istnieje macierz \(\displaystyle{ A}\) kwadratowa stopnia n taka że \(\displaystyle{ w(a)}\) jest wielomianem charakterystycznym macierzy A

[yorgin]

Wskazówka.

Niech \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \ldots & & \\
0 & 0 & 1 & 0 & \ldots \\
& \ldots & 0 & 1 & 0 & \ldots \\
& & & \ldots & \ldots & \ldots\\
& & & & \ldots & 1\\
-a_0 & -a_1 & \ldots & &-a_{n-1}&-a_{n}\end{bmatrix}}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \det(B-\lambda I)=(-1)^n(\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0)}\)

Dowód tego to indukcja.