baza macierzy

[tukanik]

Zbadać, czy poniższe macierze stanowią bazę \(\displaystyle{ V=M_{2\times 2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&1\\1&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&0\\-3&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&-2\\1&1\end{bmatrix}}\)

Jak to zrobić i przede wszystkim jak poprawnie wyciągnąć wniosek. Tzn. Chciałbym zobaczyć rozumowanie, które wyklucza, że jest to baza z solidnym wyjaśnieniem. Tzn. nie chcę, żeby ktoś za mnie to rozwiązywał, ale chciałbym, żeby ktoś mi co nieco "opowiedział". Zadanie jest tylko dla ustalenia uwagi.
Pozdrawiam!
P.S. Czy jeżeli macierze są liniowo niezależne od siebie to widać to po ich wyznacznikach?

[Spektralny]

Przestrzeń \(\displaystyle{ M_{2\times 2}}\) jest czterowymiarowa, tj. każda baza tej przestrzeni ma 4 elementy. Masz tylko trzy macierze, więc nie mogą być one bazą.

P.S. Czy jeżeli macierze są liniowo niezależne od siebie to widać to po ich wyznacznikach?

Sprecyzuj o co Ci chodzi, bo powyższe nistety nie ma sensu...

[tukanik]

Powyższe faktycznie nie mają sensu. Ale załóżmy, że mamy cztery takie macierze, że tworzą bazę. Czy ich wyznaczniki pozostają z racji tego w jakiejś relacji.
Co więcej, jak sprawdzić, że cztery macierze są bazą?

[Spektralny]

Wyznaczniki macierzy, jako elementów przestrzeni liniowej nie mają nic do rzeczy. Jeżeli rozważysz standardową bazę, to każda macierz ma wyznacznik 0. Liniową niezależnośc najlepiej sprawdzać z definicji... Załóż, że ich kombinacja liniowa jest 0 i sprawdź czy współczynniki w tej kombinacji koniecznie muszą być zerami.