Jednoznaczność macierzy

[Matiks21]

Niech Macierz \(\displaystyle{ A}\) nalezy do macierzy kwadratowych stopnia\(\displaystyle{ n}\). Wykazać ze jeżeli jedyną taka macierzą kwadratową podobną do \(\displaystyle{ A}\) jest\(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ A=a*I}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) nalezy do ciała nad którym rozpatrywany jest dany zbiór macierzy i gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą identyczności.

[Spektralny]

Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie macierzą nieosobliwą. Z założenia, \(\displaystyle{ A=P^{-1}AP}\). Wówczas \(\displaystyle{ PA=AP}\), tj. \(\displaystyle{ A}\) komutuje z każdą macierzą odwracalną. Ale przecież każdą macierz \(\displaystyle{ B}\) możemy zapisać jako kombinację liniową macierzy odwracalnych, skąd \(\displaystyle{ A}\) komutuje z każdą macierzą \(\displaystyle{ B}\). Oznacza to, że

\(\displaystyle{ A\in \mathcal{Z}(M_n)=\{aI\colon a\mbox{ jest skalarem}\}}\)

[Matiks21]

czym jest komutacja w algebrze liniowej?

[Spektralny]

Macierze \(\displaystyle{ A,B}\) komutują ze sobą gdy \(\displaystyle{ AB=BA}\). Jeżeli macierz \(\displaystyle{ A}\) komutuje z każdą macierzą to musi być postaci \(\displaystyle{ aI}\).

znajdziesz dowód faktu, że w przypadku zespolonym każda macierz jest kombinacją liniową macierzy unitarnych.

[Matiks21]

to jest bardzo nie jasne rozwiązanie dla mnie. Nie wiem poza tym co to jest macierz unitarna.

[Spektralny]

To:

znajdziesz dowód faktu, że w przypadku zespolonym każda macierz jest kombinacją liniową macierzy unitarnych.

było dygresją mającą na celu uzasadnić, że w przypadku zespolonym te macierze odwracalne mogą być bardzo porządne. Nie ma to związku z zadaniem.

Jedynymi macierzami, które komutują ze wszystkimi macierzami są macierze postaci \(\displaystyle{ aI}\). Jeżeli coś komutuje ze wszystkimi macierzami odwracalnymi, to komutuje ze wszystkim, a więc jest tej postaci. Istotnie, każda macierz jest kombinacją liniową macierzy postaci \(\displaystyle{ [\delta_{ij}}]}\), a te łatwo zapisać jako różnice macierzy odwracalnych. Na przykład,

\(\displaystyle{ [\delta_{21}]=\left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{array} \right)}\)

[Matiks21]

Wówczas \(\displaystyle{ PA=AP}\), tj. \(\displaystyle{ A}\) komutuje z każdą macierzą odwracalną. Ale przecież każdą macierz \(\displaystyle{ B}\) możemy zapisać jako kombinację liniową macierzy odwracalnych

ale czemu mamy zapisywać macierz \(\displaystyle{ B}\) jako kombinację liniową macierzy odwracalnych jeżeli macierz \(\displaystyle{ B}\) jest odwracalna?

I jak z tego wynika że \(\displaystyle{ A}\) komutuje z \(\displaystyle{ B}\)?

Problem sprowadza się do wykazania że jeżeli \(\displaystyle{ AB=BA}\) dla każdej macierzy odwracalnej \(\displaystyle{ B}\) to macierz jest szukanej postaci. Widziałem kiedyś to zadanie gdzie macierz \(\displaystyle{ B}\) była dowolną macierzą kwadratową.

Nie umiem tego dowieść. Prosiłbym o dowód elementarny.

[Spektralny]

Nie wiem dlaczego nie chcesz powoli wczytać się w to, co napisałem.

Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie dowolną macierzą. Wówczas

\(\displaystyle{ B = \sum_{k=1}^m a_k P_k}\)

dla pewnych macierzy odwracalnych \(\displaystyle{ P_k}\) i skalarów \(\displaystyle{ a_k}\). Mamy zatem

\(\displaystyle{ AB = A \sum_{k=1}^m a_k P_k = \sum_{k=1}^m a_k AP_k = \sum_{k=1}^m a_k P_kA = BA.}\)

Oznacza to, że \(\displaystyle{ A}\) należy do centrum algebry macierzy \(\displaystyle{ M_n}\), które składa się z macierzy postaci \(\displaystyle{ aI}\). Istotnie, załóżmy że \(\displaystyle{ A=[a_{ij}]}\) komutuje ze wszystkimi macierzami w \(\displaystyle{ M_n}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ E_{ij}}\) macierz \(\displaystyle{ [\delta_{ij}]}\). Mamy z założenia \(\displaystyle{ AE_{ii} = E_{ii}A}\) dla wszelkich \(\displaystyle{ i\leqslant n}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą diagonalną. Ponadto, \(\displaystyle{ E_{ij}A=AE_{ij}}\), co wymusza, że \(\displaystyle{ a_{ii}=a_{jj}}\). \(\displaystyle{ \square}\)

Bardziej szczegółowo rozpisane jest to .

[Matiks21]

W założeniu mamy że sumy są sobie równe. odpowiadające sobie składniki też są sobie równe?
Wybacz mi ale korzystasz tu z algebry. (Nie miałem jeszcze algebry) I z wielu implikacji których nie widzę. Dziękuje za pomoc ale muszę znaleźć jakiś bardzo elementarny dowód albo przynajmniej bardzo dokładny.

[Spektralny]

W założeniu mamy że sumy są sobie równe. odpowiadające sobie składniki też są sobie równe?

Nie rozumiem co przez to masz na myśli. Nie korzystam z żadnej algebry tylko prostego mnożenia macierzy.

[Matiks21]

Oznacza to, że \(\displaystyle{ A}\) należy do centrum algebry macierzy \(\displaystyle{ M_n}\), które składa się z macierzy postaci \(\displaystyle{ aI}\).

Co to jest centrum algebr macierzy?

Mamy z założenia \(\displaystyle{ AE_{ii} = E_{ii}A}\) dla wszelkich \(\displaystyle{ i\leqslant n}\).

W załozeniu mamy że sumy takich macierzy są sobie równe. Czy to oznacza że poszczególne składniki są sobie równe? \(\displaystyle{ AE_{ii}}\) jest składową sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^m a_k AP_k}\) a \(\displaystyle{ E_{ii}A}\) składową drugiej sumy. Wynika z tego że odpowiadające sobie składniki są równe?

[Spektralny]

Oznacza to, że \(\displaystyle{ A}\) należy do centrum algebry macierzy \(\displaystyle{ M_n}\), które składa się z macierzy postaci \(\displaystyle{ aI}\).

Co to jest centrum algebr macierzy?

Macierze które komutują ze wszystkimi macierzami.

Mamy z założenia \(\displaystyle{ AE_{ii} = E_{ii}A}\) dla wszelkich \(\displaystyle{ i\leqslant n}\).

W załozeniu mamy że sumy takich macierzy są sobie równe. Czy to oznacza że poszczególne składniki są sobie równe? \(\displaystyle{ AE_{ii}}\) jest składową sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^m a_k AP_k}\) a \(\displaystyle{ E_{ii}A}\) składową drugiej sumy. Wynika z tego że odpowiadające sobie składniki są równe?

Każdą macierz można zapisać jako kombinację liniową macierzy odwracalnych, gdyż macierze \(\displaystyle{ E_{ij}}\) można zapisać w postaci różnicy dwóch macierzy odwracalnych; pokazałem to dwa posty wcześniej na przykładzie \(\displaystyle{ E_{21}}\) - inne macierze \(\displaystyle{ E_{ij}}\) robi się analogicznie.