baza i wymiar przestrzeni liniowej

[malenstwo31]

Wyznacz bazę i wymiar przestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ X=\{x \in \RR^{4} : 2 x_{1}- x_{2}+ x_{3}-3 x_{4}=0\ \text{oraz}\ x_{1}+ x_{2}- x_{3}+ x_{4}=0\}}\).
Proszę o dokładne rozpisanie jak wyznaczyć bazę.

[Spektralny]

To jest standardowa procedura. Należy rozwiązać ten układ równań. Dodając równania do siebie otrzymujesz:

\(\displaystyle{ 3x_1-2x_4 = 0}\), tj. \(\displaystyle{ x_1 = \frac{2}{3}x_4}\)

Wstawiając to do drugiego równania otrzymujesz:

\(\displaystyle{ \frac{5}{3}x_4 +x_2 - x_3 = 0}\)

skąd

\(\displaystyle{ x_2 = -\frac{5}{3}x_4 + x_3}\).

Oznacza to, że dowolny element \(\displaystyle{ X}\) spełnia układ równań:

\(\displaystyle{ x_1 = \frac{2}{3}x_4}\)

\(\displaystyle{ x_2 = -\frac{5}{3}x_4 + x_3}\)

\(\displaystyle{ x_3 = x_3}\)

\(\displaystyle{ x_4 = x_4.}\)

Przepisując współczynniki stojące przy \(\displaystyle{ x_3}\) i \(\displaystyle{ x_4}\) powyżej wnioskujemy że wektory

\(\displaystyle{ (\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, 0, 1), (0,1,1,0)}\)

tworzą bazę \(\displaystyle{ X}\).

[Marynarz94]

Musisz rozwiązać układ równań, który określa tę przestrzeń . Bazą przestrzeni będzie baza zbioru rozwiązań...