Wyznacz bazę i wymiar przestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ X=\{x \in \RR^{4} : 2 x_{1}- x_{2}+ x_{3}-3 x_{4}=0\ \text{oraz}\ x_{1}+ x_{2}- x_{3}+ x_{4}=0\}}\).
Proszę o dokładne rozpisanie jak wyznaczyć bazę.
baza i wymiar przestrzeni liniowej
- malenstwo31
- Użytkownik
- Posty: 166
- Rejestracja: 15 mar 2010, o 12:33
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: w-w
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
baza i wymiar przestrzeni liniowej
Ostatnio zmieniony 1 kwie 2014, o 22:56 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
baza i wymiar przestrzeni liniowej
To jest standardowa procedura. Należy rozwiązać ten układ równań. Dodając równania do siebie otrzymujesz:
\(\displaystyle{ 3x_1-2x_4 = 0}\), tj. \(\displaystyle{ x_1 = \frac{2}{3}x_4}\)
Wstawiając to do drugiego równania otrzymujesz:
\(\displaystyle{ \frac{5}{3}x_4 +x_2 - x_3 = 0}\)
skąd
\(\displaystyle{ x_2 = -\frac{5}{3}x_4 + x_3}\).
Oznacza to, że dowolny element \(\displaystyle{ X}\) spełnia układ równań:
\(\displaystyle{ x_1 = \frac{2}{3}x_4}\)
\(\displaystyle{ x_2 = -\frac{5}{3}x_4 + x_3}\)
\(\displaystyle{ x_3 = x_3}\)
\(\displaystyle{ x_4 = x_4.}\)
Przepisując współczynniki stojące przy \(\displaystyle{ x_3}\) i \(\displaystyle{ x_4}\) powyżej wnioskujemy że wektory
\(\displaystyle{ (\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, 0, 1), (0,1,1,0)}\)
tworzą bazę \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ 3x_1-2x_4 = 0}\), tj. \(\displaystyle{ x_1 = \frac{2}{3}x_4}\)
Wstawiając to do drugiego równania otrzymujesz:
\(\displaystyle{ \frac{5}{3}x_4 +x_2 - x_3 = 0}\)
skąd
\(\displaystyle{ x_2 = -\frac{5}{3}x_4 + x_3}\).
Oznacza to, że dowolny element \(\displaystyle{ X}\) spełnia układ równań:
\(\displaystyle{ x_1 = \frac{2}{3}x_4}\)
\(\displaystyle{ x_2 = -\frac{5}{3}x_4 + x_3}\)
\(\displaystyle{ x_3 = x_3}\)
\(\displaystyle{ x_4 = x_4.}\)
Przepisując współczynniki stojące przy \(\displaystyle{ x_3}\) i \(\displaystyle{ x_4}\) powyżej wnioskujemy że wektory
\(\displaystyle{ (\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, 0, 1), (0,1,1,0)}\)
tworzą bazę \(\displaystyle{ X}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 19 gru 2013, o 16:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 6 razy
baza i wymiar przestrzeni liniowej
Musisz rozwiązać układ równań, który określa tę przestrzeń . Bazą przestrzeni będzie baza zbioru rozwiązań...